(3x-4)(x+1)>0

Чтобы решить неравенство \((3x-4)(x+1)>0\), давайте проделаем это шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем нули выражения

Сначала определим, при каких значениях \(x\) произведение \((3x-4)(x+1)\) равно нулю.

1. Первый множитель: \(3x - 4 = 0\) \[ 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3} \]

2. Второй множитель: \(x + 1 = 0\) \[ x = -1 \]

Таким образом, нули функции находятся в точках \(x = -1\) и \(x = \frac{4}{3}\).

Шаг 2: Разделим числовую ось

Теперь разберемся с интервалами, на которые мы можем разбить числовую ось:

• \( (-\infty, -1) \)
• \( (-1, \frac{4}{3}) \)
• \( (\frac{4}{3}, +\infty) \)

Шаг 3: Определим знак произведения на каждом интервале

Теперь протестируем каждый интервал, подставив тестовые значения:

1. Интервал \((-∞, -1)\):

   • Выберем \(x = -2\) \[ (3(-2) - 4)(-2 + 1) = (-6 - 4)(-1) = (-10)(-1) = 10 > 0 \] Здесь произведение положительное.

2. Интервал \((-1, \frac{4}{3})\):

   • Выберем \(x = 0\) \[ (3(0) - 4)(0 + 1) = (-4)(1) = -4 < 0 \] Здесь произведение отрицательное.

3. Интервал \((\frac{4}{3}, +\infty)\):

   • Выберем \(x = 2\) \[ (3(2) - 4)(2 + 1) = (6 - 4)(3) = (2)(3) = 6 > 0 \] Здесь произведение положительное.

Шаг 4: Записываем результат

Согласно полученным знакам, неравенство \((3x - 4)(x + 1) > 0\) выполняется на следующих интервалах:

• \( (-\infty, -1) \)
• \( (\frac{4}{3}, +\infty) \)

Шаг 5: Формируем итоговый ответ

Теперь мы можем представить окончательный ответ в виде объединения интервалов:

\[ x \in (-\infty, -1) \cup \left(\frac{4}{3}, +\infty\right) \]

Это и есть решение данного неравенства.