Для этой задачи нам необходимо найти уравнение касательных к графику функции y = 4sin(x/2) в точке x = 0 и x = п, а также построить график этой функции.
Шаг 1: Вычисление производной.
Для нахождения уравнения касательной в точке x = a к графику функции y = f(x), нужно выполнить следующие действия:
- Найдем производную функции y = 4sin(x/2).
- Вычислим значение производной в каждой из точек x = 0 и x = п.
Производная функции y = 4sin(x/2) равна y' = 4 * (1/2) * cos(x/2) = 2cos(x/2).
Теперь найдем значения производной в точках x = 0 и x = п:
- Для x = 0: y'(0) = 2cos(0) = 2 * 1 = 2.
- Для x = п: y'(п) = 2cos(п/2) = 2 * 0 = 0.
Шаг 2: Нахождение уравнения касательной.
Общее уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x = a имеет вид y = f'(a)(x - a) + f(a).
Таким образом, уравнение касательной в точке x = 0 будет:
y = 2(x - 0) + 4sin(0/2) = 2x + 0 = 2x.
Уравнение касательной в точке x = п:
y = 0(x - п) + 4sin(п/2) = 4sin(п/2) = 4 * 1 = 4.
Шаг 3: Построение графика.
Теперь построим график функции y = 4sin(x/2) и найденные уравнения касательных.
- Уравнение касательной в точке x = 0: y = 2x.
- Уравнение касательной в точке x = п: y = 4.
На графике выше изображена функция y = 4sin(x/2) (синяя кривая) и уравнения касательных в точках x = 0 (зеленая линия) и x = п (красная линия). Уравнения касательных соответствуют прямым линиям, касающимся графика функции в указанных точках.
