преобразовать в сумму или разность
Для решения этих задач нужно использовать формулы для преобразования произведений тригонометрических функций в суммы или разности.
1. \(\cos 75^\circ \cos 105^\circ\)
Для произведения косинусов используется формула: \[ \cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)] \]
Подставляем:
- \(A = 75^\circ\)
- \(B = 105^\circ\)
\[ \cos 75^\circ \cos 105^\circ = \frac{1}{2}[\cos(75^\circ + 105^\circ) + \cos(75^\circ - 105^\circ)] \]
Теперь считаем:
- \(75^\circ + 105^\circ = 180^\circ\), \(\cos 180^\circ = -1\)
- \(75^\circ - 105^\circ = -30^\circ\), \(\cos(-30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Поэтому: \[ \cos 75^\circ \cos 105^\circ = \frac{1}{2}[-1 + \frac{\sqrt{3}}{2}] = \frac{1}{2}(-1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{-2 + \sqrt{3}}{4} \]
2. \(\sin 16^\circ \cdot \sin 34^\circ\)
Формула для произведения синусов: \[ \sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)] \]
Подставляем:
- \(A = 16^\circ\)
- \(B = 34^\circ\)
\[ \sin 16^\circ \cdot \sin 34^\circ = \frac{1}{2}[\cos(16^\circ - 34^\circ) - \cos(16^\circ + 34^\circ)] \]
Теперь считаем:
- \(16^\circ - 34^\circ = -18^\circ\), \(\cos(-18^\circ) = \cos 18^\circ\)
- \(16^\circ + 34^\circ = 50^\circ\), \(\cos 50^\circ\)
Поэтому: \[ \sin 16^\circ \cdot \sin 34^\circ = \frac{1}{2}[\cos 18^\circ - \cos 50^\circ] \]
3. \(\cos 0.25 \cdot \cos 0.34\)
Формула та же, что и в первой задаче: \[ \cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)] \]
Подставляем:
- \(A = 0.25\)
- \(B = 0.34\)
\[ \cos 0.25 \cdot \cos 0.34 = \frac{1}{2}[\cos(0.25 + 0.34) + \cos(0.25 - 0.34)] \]
Теперь считаем:
- \(0.25 + 0.34 = 0.59\)
- \(0.25 - 0.34 = -0.09\)
Поэтому: \[ \cos 0.25 \cdot \cos 0.34 = \frac{1}{2}[\cos 0.59 + \cos 0.09] \]
4. \(\sin 105^\circ \cdot \sin 75^\circ\)
Формула та же, что и во второй задаче: \[ \sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)] \]
Подставляем:
- \(A = 105^\circ\)
- \(B = 75^\circ\)
\[ \sin 105^\circ \cdot \sin 75^\circ = \frac{1}{2}[\cos(105^\circ - 75^\circ) - \cos(105^\circ + 75^\circ)] \]
Теперь считаем:
- \(105^\circ - 75^\circ = 30^\circ\), \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(105^\circ + 75^\circ = 180^\circ\), \(\cos 180^\circ = -1\)
Поэтому: \[ \sin 105^\circ \cdot \sin 75^\circ = \frac{1}{2}[\frac{\sqrt{3}}{2} - (-1)] = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1\right) = \frac{\sqrt{3} + 2}{4} \]
