знайдзіце найбольшае цэлае рашэнне няроўнасці (х-9)2/х2+х-12≤0
Для решения данной неравенства сначала приведем его к более удобному виду.
Имеем неравенство: \(\frac{{(x-9)^2}}{{x^2 + x - 12}} \leq 0\)
Сначала факторизуем знаменатель \(x^2 + x - 12\). Мы видим, что данное квадратное уравнение имеет вид \(x^2 + x - 12 = 0\), что можно переписать как \((x+4)(x-3) = 0\). Таким образом, корни уравнения: \(x = -4\) и \(x = 3\).
Теперь рассмотрим знаменатель \(x^2 + x - 12\) и найденные нами корни. Эти корни делят числовую прямую на три интервала: \((- \infty, -4)\), \((-4, 3)\), и \((3, +\infty)\).
Далее посмотрим на многочлен в числителе \((x-9)^2\). Этот многочлен имеет двойной корень \(x = 9\), что означает, что он касается оси \(x\) в точке 9.
Теперь с учетом этой информации нарисуем знаки многочленов над каждым интервалом числовой прямой:
- В интервале \((- \infty, -4)\): \((-, +) \cdot (-) = -\)
- В интервале \((-4, 3)\): \((-, -) \cdot (-) = +\)
- В интервале \((3, +\infty)\): \((+, -) \cdot (-) = -\)
Таким образом, решением данного неравенства \(\frac{{(x-9)^2}}{{x^2 + x - 12}} \leq 0\) является интервал \([ -4, 3 ]\), ибо только в этом интервале многочлен принимает отрицательные значения.
