На одной из кафедр университета работают 13 человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. Десять человек знают английский, семеро  — немецкий, шестеро  — французский, пятеро знают английский и немецкий, четверо  — английский и французский, трое  — немецкий и французский языки. Выясните, сколько человек знают ровно два языка.

Для решения данной задачи воспользуемся принципами множеств и логических операций. Обозначим: - A - количество людей, знающих английский - B - количество людей, знающих немецкий - C - количество людей, знающих французский - X - количество людей, знающих ровно два языка Из условия задачи даны следующие данные: - A = 10 - B = 7 - C = 6 - A ∩ B = 5 - A ∩ C = 4 - B ∩ C = 3 Теперь нам нужно найти количество людей, знающих ровно два языка. Для этого применим формулу включений-исключений: \( n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) + n(неA ∩ неB ∩ неC) \), где: - \( n(A) \) - количество людей, знающих английский - \( n(B) \) - количество людей, знающих немецкий - \( n(C) \) - количество людей, знающих французский - \( n(A ∩ B) \) - количество людей, знающих английский и немецкий - \( n(A ∩ C) \) - количество людей, знающих английский и французский - \( n(B ∩ C) \) - количество людей, знающих немецкий и французский - \( n(A ∩ B ∩ C) \) - количество людей, знающих все три языка - \( n(неA ∩ неB ∩ неC) \) - количество людей, не знающих ни одного языка Подставляя данные из условия задачи, получаем: \( 13 = 10 + 7 + 6 - 5 - 4 - 3 + n(A ∩ B ∩ C) + n(неA ∩ неB ∩ неC) \) \( 13 = 21 - 12 + n(A ∩ B ∩ C) + n(неA ∩ неB ∩ неC) \) \( 13 = 9 + n(A ∩ B ∩ C) + n(неA ∩ неB ∩ неC) \) \( 4 = n(A ∩ B ∩ C) + n(неA ∩ неB ∩ неC) \) Так как каждый из 13 человек знает хотя бы один язык, то \( n(неA ∩ неB ∩ неC) = 0 \), и тогда: \( 4 = n(A ∩ B ∩ C) \) Таким образом, 4 человека знают ровно два иностранных языка. Итак, количество людей, знающих ровно два языка, равно 4.