На одной из кафедр университета работают 13 человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. Десять человек знают английский, семеро — немецкий, шестеро —…

Для решения данной задачи воспользуемся принципами множеств и логических операций.

Обозначим:

• A - количество людей, знающих английский
• B - количество людей, знающих немецкий
• C - количество людей, знающих французский
• X - количество людей, знающих ровно два языка

Из условия задачи даны следующие данные:

• A = 10
• B = 7
• C = 6
• A ∩ B = 5
• A ∩ C = 4
• B ∩ C = 3

Теперь нам нужно найти количество людей, знающих ровно два языка. Для этого применим формулу включений-исключений:

\( n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) + n(неA ∩ неB ∩ неC) \),

где:

• \( n(A) \) - количество людей, знающих английский
• \( n(B) \) - количество людей, знающих немецкий
• \( n(C) \) - количество людей, знающих французский
• \( n(A ∩ B) \) - количество людей, знающих английский и немецкий
• \( n(A ∩ C) \) - количество людей, знающих английский и французский
• \( n(B ∩ C) \) - количество людей, знающих немецкий и французский
• \( n(A ∩ B ∩ C) \) - количество людей, знающих все три языка
• \( n(неA ∩ неB ∩ неC) \) - количество людей, не знающих ни одного языка

Подставляя данные из условия задачи, получаем: \( 13 = 10 + 7 + 6 - 5 - 4 - 3 + n(A ∩ B ∩ C) + n(неA ∩ неB ∩ неC) \)

\( 13 = 21 - 12 + n(A ∩ B ∩ C) + n(неA ∩ неB ∩ неC) \)

\( 13 = 9 + n(A ∩ B ∩ C) + n(неA ∩ неB ∩ неC) \)

\( 4 = n(A ∩ B ∩ C) + n(неA ∩ неB ∩ неC) \)

Так как каждый из 13 человек знает хотя бы один язык, то \( n(неA ∩ неB ∩ неC) = 0 \), и тогда:

\( 4 = n(A ∩ B ∩ C) \)

Таким образом, 4 человека знают ровно два иностранных языка.

Итак, количество людей, знающих ровно два языка, равно 4.