Чтобы вычислить определённый интеграл (\int_{2}^{3} (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1) , dx), следуйте таким шагам:
Шаг 1: Найдите неопределённый интеграл
Определите первообразную для каждого члена интеграла.
- (4x^3): Первoобразная — (\frac{4}{4}x^4 = x^4).
- (-3x^2): Первообразная — (\frac{-3}{3}x^3 = -x^3).
- (2x): Первообразная — (\frac{2}{2}x^2 = x^2).
- (1): Первообразная — (x).
Таким образом, первообразная для всего выражения:
[
F(x) = x^4 - x^3 + x^2 + x
]
Шаг 2: Вычислите определённый интеграл
Подставьте пределы интегрирования в первообразную и найдите разность:
[
\int_{2}^{3} (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1) , dx = F(3) - F(2)
]
Шаг 3: Вычислите (F(3)) и (F(2))
Вычислим (F(3)):
[
F(3) = 3^4 - 3^3 + 3^2 + 3 = 81 - 27 + 9 + 3 = 66
]
Вычислим (F(2)):
[
F(2) = 2^4 - 2^3 + 2^2 + 2 = 16 - 8 + 4 + 2 = 14
]
Шаг 4: Найдите разность
Теперь найдём разность:
[
F(3) - F(2) = 66 - 14 = 52
]
Таким образом, значение определённого интеграла:
[
\int_{2}^{3} (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1) , dx = 52
]
Это полное решение задачи с объяснением каждого шага.
