вычислить

Чтобы вычислить определённый интеграл \(\int_{2}^{3} (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1) \, dx\), следуйте таким шагам:

Шаг 1: Найдите неопределённый интеграл

Определите первообразную для каждого члена интеграла.

1. \(4x^3\): Первoобразная — \(\frac{4}{4}x^4 = x^4\).
2. \(-3x^2\): Первообразная — \(\frac{-3}{3}x^3 = -x^3\).
3. \(2x\): Первообразная — \(\frac{2}{2}x^2 = x^2\).
4. \(1\): Первообразная — \(x\).

Таким образом, первообразная для всего выражения: \[ F(x) = x^4 - x^3 + x^2 + x \]

Шаг 2: Вычислите определённый интеграл

Подставьте пределы интегрирования в первообразную и найдите разность: \[ \int_{2}^{3} (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1) \, dx = F(3) - F(2) \]

Шаг 3: Вычислите \(F(3)\) и \(F(2)\)

Вычислим \(F(3)\): \[ F(3) = 3^4 - 3^3 + 3^2 + 3 = 81 - 27 + 9 + 3 = 66 \]

Вычислим \(F(2)\): \[ F(2) = 2^4 - 2^3 + 2^2 + 2 = 16 - 8 + 4 + 2 = 14 \]

Шаг 4: Найдите разность

Теперь найдём разность: \[ F(3) - F(2) = 66 - 14 = 52 \]

Таким образом, значение определённого интеграла: \[ \int_{2}^{3} (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1) \, dx = 52 \]

Это полное решение задачи с объяснением каждого шага.