На чаепитии присутствовали 10 человек, которые вместе съели 35 плюшек. Докажите, что кто-нибудь обязательно съел по крайней мере 5 плюшек, если известно, что есть граждане, съевшие ровно одну, ровно две и ровно три плюшки.

Для решения данной задачи воспользуемся методом от противного, чтобы доказать утверждение. Предположим, что никто из присутствовавших на чаепитии не съел 5 или более плюшек. Рассмотрим, сколько плюшек мог съесть каждый человек в этом случае. Пусть: - Количество людей, съевших ровно одну плюшку, равно A. - Количество людей, съевших ровно две плюшки, равно B. - Количество людей, съевших ровно три плюшки, равно C. Тогда общее количество съеденных плюшек можно выразить следующим образом: A + 2B + 3C = 35 (у нас съели 35 плюшек) Поскольку никто не съел 5 или более плюшек, то их сумма не превышает 4. Таким образом, мы можем записать неравенство: A + B + C ≤ 4 Теперь рассмотрим варианты, соответствующие данному неравенству: 1) A = 0, B = 1, C = 3 2) A = 1, B = 0, C = 3 3) A = 1, B = 1, C = 2 4) A = 1, B = 2, C = 1 5) A = 0, B = 2, C = 2 Подставим эти значения в первое уравнение: 1) 0 + 2(1) + 3(3) = 9 2) 1 + 0 + 3(3) = 10 3) 1 + 2 + 2(3) = 7 4) 1 + 2(2) + 3 = 8 5) 0 + 2(2) + 2(3) = 10 Видим, что не один из вариантов не удовлетворяет исходное условие, где 35 плюшек были съедены на чаепитии. Это значит, что наше предположение о том, что никто не съел 5 или более плюшек, неверно. Следовательно, по крайней мере один человек съел как минимум 5 плюшек.