Реши уравнение ( x − 3 ) 4 − 8 ( x − 3 ) 2 − 9 = 0 (x−3) 4 −8(x−3) 2 −9=0 . В ответе запиши корни в порядке возрастания без пробелов, например если x 1 = 2 x 1 =2 и x 2 = 3 x 2…
Реши уравнение ( x − 3 ) 4 − 8 ( x − 3 ) 2 − 9 = 0 (x−3) 4 −8(x−3) 2 −9=0. В ответе запиши корни в порядке возрастания без пробелов, например если x 1 = 2 x 1 =2 и x 2 = 3 x 2 =3, то в ответе запиши 23 23.
Решение:
Данное уравнение является квадратным относительно выражения \((x-3)^2\), поэтому его можно решить, введя замену переменной \(y = (x-3)^2\). Тогда уравнение преобразуется в квадратное относительно \(y\):
\(y^2 - 8y - 9 = 0\)
Далее, найдем корни этого квадратного уравнения при помощи квадратного корня и решим полученные уравнения относительно \(y\):
\(y_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2}\)
Таким образом, \(y_1 = 9\) и \(y_2 = -1\).
Подставим значения \(y\) обратно в исходную замену \(y = (x-3)^2\):
Для \(y = 9\): \((x-3)^2 = 9\)
Решая уравнение \((x-3)^2 = 9\), получаем два возможных варианта:
- \(x - 3 = 3 \implies x = 6\)
- \(x - 3 = -3 \implies x = 0\)
Для \(y = -1\): \((x-3)^2 = -1\)
Уравнение \((x-3)^2 = -1\) не имеет решения над полем вещественных чисел.
Итак, корни уравнения \((x-3)^4 - 8(x-3)^2 - 9 = 0\) в порядке возрастания будут равны \(0\) и \(6\).
Таким образом, ответ: \(06\).
