6sin2x-sinx=1 решение подробное

Дано уравнение: \(6\sin^2x - \sin x = 1\).

Для его решения воспользуемся тригонометрическими тождествами. Прежде всего, заметим, что \(6\sin^2x\) можно заменить на \(3 - 3\cos 2x\), где мы используем формулу двойного угла: \(\sin^2x = \frac{1 - \cos 2x}{2}\), и подставляем в уравнение:

\[3 - 3\cos 2x - \sin x = 1\]

Перенесем все термины на одну сторону:

\[3 - 3\cos 2x - \sin x - 1 = 0\]

\[2 - 3\cos 2x - \sin x = 0\]

Теперь воспользуемся другим тригонометрическим тождеством: \(\sin x = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})\), чтобы заменить \(\sin x\) в уравнении. Подставляем полученное выражение:

\[2 - 3\cos 2x - 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) = 0\]

Далее можно воспользоваться тригонометрическим тождеством для \(\cos 2x\): \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\), чтобы подставить вместо \(\cos 2x\):

\[2 - 3(1 - 2\sin^2 x) - 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) = 0\]

\[2 - 3 + 6\sin^2 x - 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) = 0\]

\[6\sin^2 x + 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) = 1\]

Теперь мы получили уравнение, которое можно решить применением замечательной формулы: \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha\), где \(\alpha = \frac{x}{2}\).

\[\sin^2 x + \sin x = 1\]

Это квадратное уравнение, которое можно решить путем введения замены: \(\sin x = y\).

\[y^2 + y - 1 = 0\]

Решив это квадратное уравнение, получим значения \(y\), заменяя потом обратно на \(\sin x\) и найдем все корни задачи.