6sin2x-sinx=1 решение подробное

Дано уравнение: \(6\sin^2x - \sin x = 1\). Для его решения воспользуемся тригонометрическими тождествами. Прежде всего, заметим, что \(6\sin^2x\) можно заменить на \(3 - 3\cos 2x\), где мы используем формулу двойного угла: \(\sin^2x = \frac{1 - \cos 2x}{2}\), и подставляем в уравнение: \[3 - 3\cos 2x - \sin x = 1\] Перенесем все термины на одну сторону: \[3 - 3\cos 2x - \sin x - 1 = 0\] \[2 - 3\cos 2x - \sin x = 0\] Теперь воспользуемся другим тригонометрическим тождеством: \(\sin x = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})\), чтобы заменить \(\sin x\) в уравнении. Подставляем полученное выражение: \[2 - 3\cos 2x - 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) = 0\] Далее можно воспользоваться тригонометрическим тождеством для \(\cos 2x\): \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\), чтобы подставить вместо \(\cos 2x\): \[2 - 3(1 - 2\sin^2 x) - 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) = 0\] \[2 - 3 + 6\sin^2 x - 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) = 0\] \[6\sin^2 x + 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) = 1\] Теперь мы получили уравнение, которое можно решить применением замечательной формулы: \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha\), где \(\alpha = \frac{x}{2}\). \[\sin^2 x + \sin x = 1\] Это квадратное уравнение, которое можно решить путем введения замены: \(\sin x = y\). \[y^2 + y - 1 = 0\] Решив это квадратное уравнение, получим значения \(y\), заменяя потом обратно на \(\sin x\) и найдем все корни задачи.