Найдите промежутки монотонности следующей функции f (x) =2x^3 - 9x+12x-15
Для определения промежутков монотонности функции f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 15, нам необходимо проанализировать производные этой функции.
Найдем производную функции f(x) по x: f'(x) = 6x^2 - 18x + 12.
Теперь найдем критические точки функции, где производная равна нулю или не существует: 6x^2 - 18x + 12 = 0. Упростим: x^2 - 3x + 2 = 0. Факторизуем: (x - 1)(x - 2) = 0. Отсюда получаем две критические точки x1 = 1 и x2 = 2.
Теперь построим таблицу знаков производной и определим промежутки монотонности:
Проверим знаки производной в интервалах: I. x < 1, II. 1 < x < 2, III. x > 2.
Выберем тестовую точку для проверки знака производной в каждом интервале: I. x = 0, II. x = 1.5, III. x = 3.
Подставим эти точки в производную f'(x) = 6x^2 - 18x + 12: I. f'(0) = 6(0)^2 - 18(0) + 12 = 12 > 0, знак "+", II. f'(1.5) = 6(1.5)^2 - 18(1.5) + 12 = -6 < 0, знак "-", III. f'(3) = 6(3)^2 - 18(3) + 12 = 12 > 0, знак "+".
Итак, получаем промежутки монотонности функции f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 15:
- Функция возрастает на интервале (-∞, 1),
- Функция убывает на интервале (1, 2),
- Функция снова возрастает на интервале (2, +∞).
Таким образом, мы определили промежутки монотонности данной функции.
