Решение:
Для начала, обозначим заданные данные на рисунке:
- Обозначим точку пересечения плоскостей (AKC) и (DBC) за точку O.
- Из условия задачи, мы знаем, что AB = 2 и DC = 5.
- Также, BK/KD = 2/3.
Первым шагом рассмотрим треугольник ΔABK. По теореме Пифагора можем найти длину стороны AK:
[ AK = \sqrt{AB^2 + BK^2} = \sqrt{2^2 + \left(\frac{2}{3}KD\right)^2} = \sqrt{4 + \left(\frac{2}{3} \cdot 3\right)^2} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2} ]
Теперь рассмотрим треугольник ΔADC. По теореме Пифагора можем найти длину стороны AK:
[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} ]
Теперь найдем синус угла между плоскостями (AKC) и (DBC). Пусть угол между плоскостями равен θ. Тогда синус угла θ будет равен отношению площади треугольника ΔAKC к площади ΔDBC.
Мы можем найти площади треугольников ΔAKC и ΔDBC с помощью высоты, проведенной из вершины A.
Площадь ΔAKC:
[ S_{\Delta AKC} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot AC \sin \theta ]
Площадь ΔDBC:
[ S_{\Delta DBC} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot BC \sin (180° - \theta) ]
Теперь найдем синус угла θ:
[ \sin \theta = \frac{S_{\Delta AKC}}{S_{\Delta DBC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{29} \cdot \sin \theta}{\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 \cdot \sin (180° - \theta)} ]
[ \sin \theta = \frac{\sqrt{58} \sin \theta}{10 \sin \theta} = \frac{\sqrt{58}}{10} = \frac{\sqrt{2 \cdot 29}}{10} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{29}}{10} = \frac{2\sqrt{29}}{10} = \frac{\sqrt{29}}{5} ]
Таким образом, синус угла между плоскостями (AKC) и (DBC) равен ( \frac{\sqrt{29}}{5} ).
