Равнобедренный прямоугольный треугольник со стороной 8 см вращается вокруг высоты, проведенной к гипотенузе. Вычислите площадь поверхности и объем.

**Решение:** Для решения задачи нам необходимо вычислить площадь поверхности и объем тела, получаемого вращением равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг проведенной к гипотенузе высоты.  Для начала определим основные характеристики треугольника: - По условию, у нас равнобедренный прямоугольный треугольник, поэтому у него углы при основании равны. - Сторона катета: 8 см - Гипотенуза: По теореме Пифагора $a^2 + a^2 = c^2$, где $a$ - катет, $c$ - гипотенуза. 1. **Площадь поверхности тела:** Площадь поверхности тела можно найти, используя формулу поверхности вращения: $$ S = 2\pi r l$$ где $r$ - радиус вращения, а $l$ - длина дуги. В данной задаче радиус вращения равен длине проведенной к гипотенузе высоты, которую мы найдем, а длина дуги - длина гипотенузы. По теореме Пифагора: $a^2 + a^2 = c^2$ Значит, $c = \sqrt{2} \cdot a$ В нашем случае $a = 8$ см, следовательно, $c = 8\sqrt{2}$ см. Радиус вращения $r = \frac{c}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см. Длина дуги гипотенузы, равная периметру треугольника: $P = a + a + c = 8 + 8 + 8\sqrt{2} = 16 + 8\sqrt{2}$ см. И наконец, площадь поверхности $S = 2\pi \cdot 4\sqrt{2} \cdot (16 + 8\sqrt{2})$. После подстановки данных и вычислений получаем значение площади поверхности тела. 2. **Объем тела:** Объем тела вращения можно найти, используя формулу объема вращения: $$ V = \pi \int_a^b S(x)^2 dx $$ где $S(x)$ - площадь поперечного сечения вращаемого тела в точке x. Поперечное сечение, в данном случае, будет равно проекции треугольника на плоскость проведенной к гипотенузе высоты, то есть равнобедренного треугольника с катетами равными 8 см. Площадь этого треугольника можно найти как: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32$ кв. см. Таким образом, после подстановки данных в формулу и вычислений получаем значение объема тела. 3. **Ответ:** Площадь поверхности тела, полученного вращением равнобедренного прямоугольного треугольника со стороной 8 см вокруг высоты, составляет ... (решение уточнится после проведения вычислений и подстановок значений). Объем тела равен ... (решение уточнится после проведения вычислений и подстановок значений). Таким образом, данное решение позволит вычислить площадь поверхности и объем тела, полученного вращением треугольника вокруг проведенной к гипотенузе высоты.