найди вероятность того, что пятёрка выпадет ровно три раза, если игральную кость бросают 6 раз

Цель: Понять вероятность того, что пятёрка выпадет ровно три раза из шести бросков игральной кости.

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой вероятности биномиального распределения.

Пусть:

• \( n = 6 \) - общее количество бросков игральной кости,
• \( k = 3 \) - количество успехов (в данном случае выпадение пятёрки),
• \( p = \frac{1}{6} \) - вероятность успеха в одном броске (вероятность выпадения пятёрки на кости),
• \( q = 1 - p = \frac{5}{6} \) - вероятность неудачи в одном броске.

Тогда вероятность того, что пятёрка выпадет ровно три раза при шести бросках, вычисляется по формуле биномиального распределения:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

\[ P(X = 3) = \binom{6}{3} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{6-3} \]

\[ P(X = 3) = \binom{6}{3} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 \]

\[ P(X = 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 \]

\[ P(X = 3) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 \]

\[ P(X = 3) = 20 \cdot \left(\frac{1}{216}\right) \cdot \left(\frac{125}{216}\right) \]

\[ P(X = 3) = 20 \cdot \frac{125}{27^2} \]

\[ P(X = 3) = \frac{2500}{729} = \frac{100}{243} \]

Таким образом, вероятность того, что пятёрка выпадет ровно три раза из шести бросков игральной кости, составляет \( \frac{100}{243} \) или примерно 0.4115 (округленно до четырёх знаков после запятой).