Цель: Понять вероятность того, что пятёрка выпадет ровно три раза из шести бросков игральной кости.
Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой вероятности биномиального распределения.
Пусть:
- ( n = 6 ) - общее количество бросков игральной кости,
- ( k = 3 ) - количество успехов (в данном случае выпадение пятёрки),
- ( p = \frac{1}{6} ) - вероятность успеха в одном броске (вероятность выпадения пятёрки на кости),
- ( q = 1 - p = \frac{5}{6} ) - вероятность неудачи в одном броске.
Тогда вероятность того, что пятёрка выпадет ровно три раза при шести бросках, вычисляется по формуле биномиального распределения:
[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k} ]
[ P(X = 3) = \binom{6}{3} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{6-3} ]
[ P(X = 3) = \binom{6}{3} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 ]
[ P(X = 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 ]
[ P(X = 3) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 ]
[ P(X = 3) = 20 \cdot \left(\frac{1}{216}\right) \cdot \left(\frac{125}{216}\right) ]
[ P(X = 3) = 20 \cdot \frac{125}{27^2} ]
[ P(X = 3) = \frac{2500}{729} = \frac{100}{243} ]
Таким образом, вероятность того, что пятёрка выпадет ровно три раза из шести бросков игральной кости, составляет ( \frac{100}{243} ) или примерно 0.4115 (округленно до четырёх знаков после запятой).
