Центры четырёх окружностей радиуса 1 находятся в вершинах единичного квадрата. Найдите периметр фигуры их пересечения

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим каждую из окружностей и их взаимные пересечения. 1. **Рассмотрим окружности:** - При радиусе 1, окружность может быть описана уравнением $x^2 + y^2 = 1$. - Окружность с центром в вершине квадрата $(0,0)$. - Другие три окружности с центрами в вершинах $(1,0)$, $(0,1)$ и $(1,1)$ соответственно. 2. **Пересечения окружностей:** - Пересечение двух окружностей радиуса 1 будет окружность диаметра 1 (так как растояние между центрами окружностей равно 1). - Пересечение трёх окружностей будет равно пересечению трёх окружностей около центра квадрата, образуя равносторонний треугольник длины стороны 1. 3. **Нахождение периметра фигуры их пересечения:** - Периметр фигуры, образованной пересечением всех четырёх окружностей, равен периметру четырёх равносторонних треугольников, описывающих внешние стороны окружностей. - Периметр равностороннего треугольника со стороной $a$ равен $3a$. Таким образом, для каждого равностороннего треугольника с длиной стороны 1 периметр будет равен 3. - Таким образом, периметр фигуры пересечения четырёх окружностей равен $4 \times 3 = 12$. Итак, периметр фигуры, образованной пересечением четырёх окружностей радиуса 1 в вершинах единичного квадрата, равен 12.