8x2-20<-x2<8x

Решение:

Данное неравенство выглядит следующим образом:

\[8x^2 - 20 \leq -x^2 < 8x\]

Давайте начнем с обработки неравенства по частям:

1. Сгруппируем все члены с \(x^2\) в одну часть неравенства: \[8x^2 + x^2 < 8x\]

2. Простоим порядок: \[9x^2 < 8x\]

3. Приведем уравнение к виду \(0 < ax^2+bx+c\), где \(a=9\), \(b=-8\), \(c=0\): \[9x^2 - 8x < 0\]

4. Решим это квадратное уравнение. Сначала найдем корни: \[9x^2 - 8x = 0\] \[x(9x-8) = 0\]

5. Получаем два корня: \[x = 0\] \[9x - 8 = 0 \Rightarrow x = \frac{8}{9}\]

6. Теперь проведем исследование знаков. Возьмем точки между корнями и за их пределами:

   • Проверим интервал (-∞, 0): Подставим x = -1: \[9(-1)^2 - 8(-1) = 9 + 8 > 0\] Значит, в этом интервале неравенство выполняется.
   • Проверим интервал (0, \( \frac{8}{9} \)): Подставим x = 0.5: \[9(0.5)^2 - 8(0.5) = 9(0.25) - 4 = 2.25 - 4 < 0\] Значит, в этом интервале неравенство не выполняется.
   • Проверим интервал ( \( \frac{8}{9} \), +∞): Подставим x = 1: \[9(1)^2 - 8(1) = 9 - 8 > 0\] Значит, в этом интервале неравенство выполняется.

Таким образом, решением данного неравенства является интервал (-∞, 0] ∪ ( \( \frac{8}{9} \), +∞).