Изобразите куб ABCDA1B1C1D1 и точку M на ребре BB1 , такую, что B1M : MB = 1 : 2. Пусть ребро куба равно 6. Вычислите: а) M; D1D; б) M; CD; в) A1 A; CD ; г) M; (DCC1) ; д) ; е) tg ((AMC); (ABC)); ж) tg (AM; CD)

Для начала построим заданный куб ABCDA1B1C1D1: - Пусть сторона куба равна 6, тогда все ребра будут равны 6. 1. **Найдем точку M на ребре BB1 такую, что B1M : MB = 1 : 2:** - Пусть M1 - точка на BB1, такая что BM1 = x, тогда B1M1 = 2x. - С учетом BMB1 = 6, мы имеем x + 2x + x = 6, откуда x = 2. - Таким образом, BM = 2, а B1M = 4. 2. **a) Найдем M; D1D:** - Так как D1D это диагональ куба, длина которой равна \(\sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\). - M находится на BB1, и т.к. B1M : MB = 1 : 2, M находится внутри B1B и соответственно D1D. - Таким образом, MD1D = 6\sqrt{2}/3 = 2\sqrt{2}. 3. **б) Найдем M; CD:** - Так как CD - ребро куба, то его длина равна 6. - Аналогично, M находится внутри B1B и СD, причем M уже находится ближе к B1. - Значит, MC = 4, а CD - MC = 6 - 4 = 2. 4. **в) Найдем A1A; CD:** - Диагональ A1A равна \(\sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\). - Так как M находится на BB1, то A1A перпендикулярно M на BB1 и к А1A1. - A1A1 = 6, соответственно A1A = 6\sqrt{2} - 6 = 6(\sqrt{2} - 1). 5. **г) Найдем M; (DCC1):** - Поскольку M находится на BB1 и DCC1 - это одна из диагоналей грани DCC1D1, то M также находится внутри этой грани. - Заметим, что DCC1D1 - это равнобедренный прямоугольный треугольник со сторонами, равными 6. - Так как M ближе к B1, то он ближе к D1C1 и соответственно к DCC1. 6. **д) Вычислим: \( \angle AMC \) и \( \angle ABC \):** - Так как M находится на BB1, то AM перпендикулярна BB1 и CD. Тогда \(\angle AMC = 90^\circ\). - Так как ABCD это грань куба, то угол между AM и AB равен тоже 90 градусов. 7. **е) Вычислим tg \( \angle AMC \) и tg \( \angle ABC \):** - Так как в треугольнике AMC противоположная сторона к углу 90 градусов равна 4, а прилежащая 6, tg \( \angle AMC = 4/6 = 2/3 \). - Так как угол ABC тоже прямой, то tg \( \angle ABC \) = 4/6 = 2/3.