Найдите площадь треугольника треугольника abc,если a(1;-1;3), b(3;-1;1) и c(-1;1;-3)
Для нахождения площади треугольника с заданными координатами вершин в пространстве можно использовать векторное произведение.
Даны точки: \( A(1, -1, 3) \), \( B(3, -1, 1) \), \( C(-1, 1, -3) \).
Найдем векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \):
\[ \vec{AB} = B - A = (3 - 1, -1 - (-1), 1 - 3) = (2, 0, -2) \]
\[ \vec{AC} = C - A = (-1 - 1, 1 - (-1), -3 - 3) = (-2, 2, -6) \]
Найдем векторное произведение \( \vec{AB} \times \vec{AC} \):
\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & -2 \\ -2 & 2 & -6 \end{vmatrix} \]
Разложим по первой строке:
\[ = \mathbf{i}(0 \cdot (-6) - (-2) \cdot 2) - \mathbf{j}(2 \cdot (-6) - (-2) \cdot (-2)) + \mathbf{k}(2 \cdot 2 - 0 \cdot (-2)) \]
\[ = \mathbf{i}(0 + 4) - \mathbf{j}(-12 - 4) + \mathbf{k}(4 - 0) \]
\[ = 4\mathbf{i} + 16\mathbf{j} + 4\mathbf{k} \]
Так, \( \vec{AB} \times \vec{AC} = (4, 16, 4) \).
Найдем модуль векторного произведения:
\[ |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{4^2 + 16^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 256 + 16} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2} \]
Площадь треугольника \( ABC \):
Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения его сторон:
\[ S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \times 12\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \]
Таким образом, площадь треугольника \( ABC \) равна \( 6\sqrt{2} \).
