Решить
Давайте разберём все задачи по порядку.
Задача 3
Решить неравенство \(\sin x > \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Значение \(\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) соответствует углам \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n\) и \(x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).
Неравенство \(\sin x > \frac{\sqrt{2}}{2}\) выполняется на интервале \( \left(\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n\right)\).
Сравним предлагаемые числа:
- \( \frac{\pi}{3} \approx 1.047\), \(\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\),
- \( \frac{5\pi}{6} \approx 2.618\), \(\sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}\),
- \( \frac{\pi}{4} \approx 0.785\).
Значение \(\frac{\pi}{3}\) подходит, так как \(\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Задача 4
Решить уравнение:
- \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Это выполняется при \(x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n\) и \(x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).
- \(\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\).
Для этого: \[ x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \]
Это дает решения: \[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n \] \[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = \frac{11\pi}{12} + 2\pi n \]
- \(2\sin^2 x - 5\cos x + 1 = 0\).
Заменим \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\): \[ 2(1 - \cos^2 x) - 5\cos x + 1 = 0 \] \[ 2 - 2\cos^2 x - 5\cos x + 1 = 0 \] \[ -2\cos^2 x - 5\cos x + 3 = 0 \]
Заменим \(\cos x = t\): \[ -2t^2 - 5t + 3 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение: \[ t = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 3}}{2 \cdot (-2)} \] \[ t = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{-4} \] \[ t = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{-4} \] \[ t = \frac{5 \pm 7}{-4} \]
Получаем \(t_1 = -3\), \(t_2 = \frac{1}{2}\).
\(t_1 = -3\) недопустимо, так как \(\cos x\) принимает значения от -1 до 1.
Для \(t_2 = \frac{1}{2}\), \(\cos x = \frac{1}{2}\) при \(x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n\).
Задача 5
Найти корни уравнения:
- \(4\sin^2 x + 2\sin x \cos x = 3\).
Заменим \(y = \sin x\) и \(z = \cos x\): \[ 4y^2 + 2yz = 3 \]
С использованием идентичности \(y^2 + z^2 = 1\): \[ 4(1 - z^2) + 2yz = 3 \] \[ 4 - 4z^2 + 2yz = 3 \] \[ 2yz = 4z^2 - 1 \]
Решим это уравнение для \(y\): \[ y = \frac{4z^2 - 1}{2z} \]
Проверка каждой комбинации решений даст нужные корни.
