Цель:
Понимание упрощения выражения и нахождение его значения при заданных значениях переменных.
Решение:
Данное выражение:
$$
\frac{x^3 y - 2}{x^2} : \left(3y - 6y^{-2}\right)
$$
Для начала упростим выражение в знаменателе дроби:
$$
\left(3y - 6y^{-2}\right) = 3y -6\cdot y^{-2}
$$
Чтобы провести операции с дробями, сначала необходимо упростить выражения в скобках. Мы видим, что скобка является разностью двух слагаемых, поэтому:
$$
3y -6\cdot y^{-2} = 3y - \frac{6}{y^2}
$$
Теперь можем подставить это выражение обратно в исходное:
$$
\frac{x^3 y - 2}{x^2} : \left(3y - \frac{6}{y^2}\right)
$$
Чтобы разделить дроби, нужно умножить первую на обратную второй:
$$
\frac{x^3 y - 2}{x^2} \cdot \frac{1}{3y - \frac{6}{y^2}}
$$
Далее умножим числитель и знаменатель дроби на y^2 для удобства вычислений:
$$
\frac{x^3 y - 2}{x^2} \cdot \frac{y^2}{3y \cdot y^2 - 6}
$$
Упростим числитель:
$$
x^3 y \cdot y^2 - 2y^2 = x^3 y^3 - 2y^2
$$
Упрощаем знаменатель:
$$
3y \cdot y^2 - 6 = 3y^3 - 6
$$
Подставляем упрощенные выражения:
$$
\frac{x^3 y^3 - 2y^2}{x^2(3y^3 - 6)}
$$
Теперь можем подставить значения переменных: x = -3, y = 0.5
Подставляем и вычисляем:
$$
\frac{(-3)^3 \cdot (0.5)^3 - 2 \cdot (0.5)^2}{(-3)^2(3 \cdot (0.5)^3 - 6)}
$$
$$
= \frac{-27 \cdot 0.125 - 2 \cdot 0.25}{9 \cdot (0.375 - 6)}
$$
$$
= \frac{-3.375 - 0.5}{9 \cdot (-5.625)}
$$
$$
= \frac{-3.875}{-50.625}
$$
$$
= 0.0766
$$
Таким образом, упрощенное выражение равно 0.0766.
