Упрости выражение x 3 y − 2 : x 2 3 y − 6 y−2 x 3 ​ : 3y−6 x 2 ​ и найди его значение при x = − 3 x=−3 , y = 0 , 5 y=0,5 .

Цель:

Понимание упрощения выражения и нахождение его значения при заданных значениях переменных.

Решение:

Данное выражение:

\[ \frac{x^3 y - 2}{x^2} : \left(3y - 6y^{-2}\right) \]

Для начала упростим выражение в знаменателе дроби:

\[ \left(3y - 6y^{-2}\right) = 3y -6\cdot y^{-2} \]

Чтобы провести операции с дробями, сначала необходимо упростить выражения в скобках. Мы видим, что скобка является разностью двух слагаемых, поэтому:

\[ 3y -6\cdot y^{-2} = 3y - \frac{6}{y^2} \]

Теперь можем подставить это выражение обратно в исходное:

\[ \frac{x^3 y - 2}{x^2} : \left(3y - \frac{6}{y^2}\right) \]

Чтобы разделить дроби, нужно умножить первую на обратную второй:

\[ \frac{x^3 y - 2}{x^2} \cdot \frac{1}{3y - \frac{6}{y^2}} \]

Далее умножим числитель и знаменатель дроби на y^2 для удобства вычислений:

\[ \frac{x^3 y - 2}{x^2} \cdot \frac{y^2}{3y \cdot y^2 - 6} \]

Упростим числитель:

\[ x^3 y \cdot y^2 - 2y^2 = x^3 y^3 - 2y^2 \]

Упрощаем знаменатель:

\[ 3y \cdot y^2 - 6 = 3y^3 - 6 \]

Подставляем упрощенные выражения:

\[ \frac{x^3 y^3 - 2y^2}{x^2(3y^3 - 6)} \]

Теперь можем подставить значения переменных: x = -3, y = 0.5

Подставляем и вычисляем:

\[ \frac{(-3)^3 \cdot (0.5)^3 - 2 \cdot (0.5)^2}{(-3)^2(3 \cdot (0.5)^3 - 6)} \] \[ = \frac{-27 \cdot 0.125 - 2 \cdot 0.25}{9 \cdot (0.375 - 6)} \] \[ = \frac{-3.375 - 0.5}{9 \cdot (-5.625)} \] \[ = \frac{-3.875}{-50.625} \] \[ = 0.0766 \]

Таким образом, упрощенное выражение равно 0.0766.