Найди точку минимума функции y = 2 x 3 − 24 x + 16 y=2x 3 −24x+16 .

Для нахождения точки минимума функции, необходимо найти производную функции по переменной \( x \) и приравнять ее к нулю. Точка, в которой производная равна нулю, может быть точкой экстремума (точкой минимума или максимума), поэтому будем искать точку, в которой производная равна нулю.

Дано:
\( y = 2x^3 - 24x + 16 \)

1. Найдем производную функции \( y \) по переменной \( x \):

\[ y' = 6x^2 - 24 \]

2. Приравняем производную к нулю и найдем точку, в которой это выполняется:

\[ 6x^2 - 24 = 0 \]
\[ 6x^2 = 24 \]
\[ x^2 = \frac{24}{6} \]
\[ x^2 = 4 \]
\[ x = \pm \sqrt{4} \]
\[ x = \pm 2 \]

3. Найдем соответствующие значения \( y \) с помощью исходной функции:

Подставим \( x = 2 \) и \( x = -2 \) в исходную функцию \( y = 2x^3 - 24x + 16 \):

1. При \( x = 2 \): \[ y = 2(2)^3 - 24(2) + 16 = 16 - 48 + 16 = -16 \]
   Таким образом, точка минимума \( (2, -16) \)
2. При \( x = -2 \): \[ y = 2(-2)^3 - 24(-2) + 16 = -16 + 48 + 16 = 48 \]
   Таким образом, точка минимума \( (-2, 48) \)

Ответ:

Точки минимума функции y=2x^3 - 24x + 16:

1. Точка минимума: (2, -16)
2. Точка минимума: (-2, 48)