Помоги решить

Давайте разберём и решим это уравнение подробно. ### а) Решение уравнения: У нас дано уравнение: \[ \frac{\log_2^2(\sin x) + \log_2(\sin x)}{2 \cos x - \sqrt{3}} = 0 \] Чтобы дробь была равна нулю, её числитель должен быть равен нулю: \[ \log_2^2(\sin x) + \log_2(\sin x) = 0 \] Это уравнение квадратичное относительно \(\log_2(\sin x)\). Обозначим \(\log_2(\sin x) = t\). Тогда уравнение принимает вид: \[ t^2 + t = 0 \] Решим это квадратное уравнение: \[ t(t + 1) = 0 \] Таким образом, \(t = 0\) или \(t = -1\). Теперь найдём значения \(\sin x\): 1. Если \(t = 0\), то \(\log_2(\sin x) = 0 \Rightarrow \sin x = 2^0 = 1\). 2. Если \(t = -1\), то \(\log_2(\sin x) = -1 \Rightarrow \sin x = 2^{-1} = \frac{1}{2}\). Теперь найдём \(x\) для каждого случая. ### Для \(\sin x = 1\): \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z} \] ### Для \(\sin x = \frac{1}{2}\): \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z} \] ### б) Найдём все корни в промежутке \(\left[\frac{\pi}{2}, 2\pi\right]\): 1. \(\sin x = 1\): - \(x = \frac{\pi}{2}\) 2. \(\sin x = \frac{1}{2}\): - \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) — сюда не входит, так как меньше \(\frac{\pi}{2}\). - \(x = \frac{5\pi}{6}\) — сюда входит. - \(x = \frac{13\pi}{6}\) — входит, так как меньше \(2\pi\). Итак, корни на промежутке \(\left[\frac{\pi}{2}, 2\pi\right]\) следующие: - \(x = \frac{\pi}{2}\) - \(x = \frac{5\pi}{6}\) - \(x = \frac{13\pi}{6}\) Таким образом, мы нашли все корни данного уравнения на указанном промежутке.