Для нахождения первого члена геометрической прогрессии (b₁) нам нужно знать формулу для n-го члена геометрической прогрессии и использовать данные из условия.
Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии:
[ b_n = b₁ ⋅ r^{(n-1)} ]
Где:
- ( b_n ) - n-й член прогрессии
- ( b₁ ) - первый член прогрессии
- ( r ) - знаменатель прогрессии
- ( n ) - номер члена прогрессии
Дано:
( b₄ = 192 ) (4-й член прогрессии)
( b₇ = 12288 ) (7-й член прогрессии)
Мы можем использовать данные о 4-м и 7-м членах, чтобы составить уравнения.
Для 4-го члена:
[ b₄ = b₁ ⋅ r^{(4-1)} = b₁ ⋅ r³ = 192 ]
Для 7-го члена:
[ b₇ = b₁ ⋅ r^{(7-1)} = b₁ ⋅ r⁶ = 12288 ]
Теперь мы можем использовать уравнения, чтобы найти первый член прогрессии ( b₁ ):
Из уравнения для 4-го члена:
[ b₁ ⋅ r³ = 192 ]
[ b₁ = \frac{192}{r³} ] (1)
Из уравнения для 7-го члена:
[ b₁ ⋅ r⁶ = 12288 ]
[ b₁ = \frac{12288}{r⁶} ] (2)
Из уравнений (1) и (2) мы можем приравнять выражения для ( b₁ ):
[ \frac{192}{r³} = \frac{12288}{r⁶} ]
[ 192 ⋅ r³ = 12288 ]
[ r³ = \frac{12288}{192} ]
[ r³ = 64 ]
[ r = 4 ]
Теперь мы можем найти первый член прогрессии ( b₁ ) подставив значение ( r = 4 ) в любое из уравнений (1) или (2):
[ b₁ = \frac{192}{4³} ]
[ b₁ = \frac{192}{64} ]
[ b₁ = 3 ]
Итак, первый член геометрической прогрессии равен 3.
