Для решения этой задачи давайте обозначим неизвестные:
Пусть длина прямоугольника равна ( a ), а ширина — ( b ).
Периметр прямоугольника выражается формулой:
[ P = 2(a + b) ]
По условию задачи, периметр равен 28 см:
[ 2(a + b) = 28 ]
Отсюда:
[ a + b = 14 ]
Площадь прямоугольника выражается формулой:
[ S = a \times b ]
Нам нужно показать, что при условии ( a + b = 14 ) площадь не может превышать 45 см².
Для этого используем неравенство Коши о среднеарифметическом и среднегеометрическом:
[ \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \geq ab ]
Подставляем ( a + b = 14 ):
[ \left(\frac{14}{2}\right)^2 \geq ab ]
[ 7^2 \geq ab ]
[ 49 \geq ab ]
Это означает, что максимальная площадь прямоугольника, при которой ( a + b = 14 ), равна 49 см².
Следовательно, площадь, которая не может быть превышена, действительно больше 45 см². Таким образом, утверждение в задаче неверно, так как она могла бы быть равна 49 см², что больше 45 см².
Ответ: площадь прямоугольника может быть равна или меньше 49 см², но не ограничивается 45 см².
