Алгебра
Давайте решим неравенство:
\[ \frac{-10}{(x - 3)^2} - 5 \geq 0 \]
Шаг 1: Упростим выражение
Начнем с того, чтобы объединить все в одно выражение. Приведем дробь к общему знаменателю:
\[ \frac{-10}{(x - 3)^2} - 5 = \frac{-10 - 5(x - 3)^2}{(x - 3)^2} \]
Шаг 2: Упростим числитель
\[ -10 - 5(x - 3)^2 = -10 - 5(x^2 - 6x + 9) = -10 - 5x^2 + 30x - 45 \]
\[ = -5x^2 + 30x - 55 \]
Шаг 3: Решим неравенство
Теперь мы имеем неравенство:
\[ \frac{-5x^2 + 30x - 55}{(x - 3)^2} \geq 0 \]
Для этого необходимо:
- Определить, где числитель обращается в ноль.
- Определить, где знаменатель строго положителен.
a) Числитель
Решаем квадратное уравнение:
\[ -5x^2 + 30x - 55 = 0 \]
Для решения воспользуемся дискриминантом:
\[ D = b^2 - 4ac = 30^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-55) = 900 - 1100 = -200 \]
Так как дискриминант отрицательный, действительных корней нет. Числитель всегда отрицательный.
b) Знаменатель
\((x - 3)^2 > 0\) при \(x \neq 3\).
Шаг 4: Анализ условий
Так как числитель \( -5x^2 + 30x - 55 \) всегда отрицателен и \((x - 3)^2\) всегда положително (кроме точки \(x = 3\)), выражение:
\[ \frac{-5x^2 + 30x - 55}{(x - 3)^2} \]
всегда отрицательно для \(x \neq 3\).
Ответ
Неравенство \(\frac{-10}{(x - 3)^2} - 5 \geq 0\) не имеет решений в области действительных чисел.
