• Найдите девятый член геометрической прогрессии 3; 6; 12; .... 2 Найдите сумму первых четырнадцати членов арифмети-ческой прогрессии 30; 28; 26; ... . Является ли число 242…

Давайте разберём каждую задачу по порядку.

1. Найдите девятый член геометрической прогрессии 3; 6; 12; ....

   Формула для n-го члена геометрической прогрессии: \[ a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \] где \( a_1 = 3 \) и общий множитель \( r = \frac{6}{3} = 2 \).

   Подставим в формулу для 9-го члена: \[ a_9 = 3 \cdot 2^{(9-1)} = 3 \cdot 2^8 = 3 \cdot 256 = 768 \]

2. Найдите сумму первых четырнадцати членов арифметической прогрессии 30; 28; 26; ....

   Формула для суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] где разность \( d = 28 - 30 = -2 \).

   Найдём 14-й член: \[ a_{14} = a_1 + (14-1) \cdot d = 30 + 13 \cdot (-2) = 30 - 26 = 4 \]

   Теперь найдем сумму: \[ S_{14} = \frac{14}{2} \cdot (30 + 4) = 7 \cdot 34 = 238 \]

3. Является ли число 242 членом арифметической прогрессии \( a_n = 7n + 4 \)?

   Выразим \( n \) из равенства: \[ 7n + 4 = 242 \] \[ 7n = 238 \implies n = \frac{238}{7} = 34 \]

   Так как \( n \) целое, 242 является членом прогрессии.

4. Найдите двадцать восьмой член арифметической прогрессии -30; -28; -26; ....

   Формула для n-го члена: \[ a_{28} = a_1 + (28-1) \cdot d \] где \( a_1 = -30 \) и \( d = 2 \).

   \[ a_{28} = -30 + 27 \cdot 2 = -30 + 54 = 24 \]

5. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии 2; 8; 32; ....

   Формула для суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии: \[ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} \] где \( a_1 = 2 \) и \( r = 4 \).

   Подставим для пяти членов: \[ S_5 = 2 \cdot \frac{4^5 - 1}{4 - 1} = 2 \cdot \frac{1024 - 1}{3} = 2 \cdot 341 = 682 \]

6. Является ли число 384 членом геометрической прогрессии \( b_n = 3 \cdot 2^n \)?

   Выразим \( n \): \[ 3 \cdot 2^n = 384 \] \[ 2^n = 128 \implies n = 7 \]

   Число 384 является членом прогрессии.

7. Сумма второго и четвертого членов арифметической прогрессии равна 14, а седьмой её член на 12 больше третьего. Найдите разность и первый член данной прогрессии.

   Пусть первый член \( a_1 = a \) и разность \( d \).

   Второй член: \( a + d \), четвертый: \( a + 3d \)

   \[ a + d + a + 3d = 14 \implies 2a + 4d = 14 \implies a + 2d = 7 \]

   Седьмой член: \( a + 6d \), третий: \( a + 2d \)

   \[ a + 6d = a + 2d + 12 \implies 6d = 2d + 12 \implies 4d = 12 \implies d = 3 \]

   Подставим \( d = 3 \) в \( a + 2d = 7 \): \[ a + 6 = 7 \implies a = 1 \]

   Ответ: \( a = 1 \), \( d = 3 \).