Давайте разберём каждую задачу по порядку.
Найдите девятый член геометрической прогрессии 3; 6; 12; ....
Формула для n-го члена геометрической прогрессии:
[
a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}
]
где ( a_1 = 3 ) и общий множитель ( r = \frac{6}{3} = 2 ).
Подставим в формулу для 9-го члена:
[
a_9 = 3 \cdot 2^{(9-1)} = 3 \cdot 2^8 = 3 \cdot 256 = 768
]
Найдите сумму первых четырнадцати членов арифметической прогрессии 30; 28; 26; ....
Формула для суммы первых ( n ) членов арифметической прогрессии:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
]
где разность ( d = 28 - 30 = -2 ).
Найдём 14-й член:
[
a_{14} = a_1 + (14-1) \cdot d = 30 + 13 \cdot (-2) = 30 - 26 = 4
]
Теперь найдем сумму:
[
S_{14} = \frac{14}{2} \cdot (30 + 4) = 7 \cdot 34 = 238
]
Является ли число 242 членом арифметической прогрессии ( a_n = 7n + 4 )?
Выразим ( n ) из равенства:
[
7n + 4 = 242
]
[
7n = 238 \implies n = \frac{238}{7} = 34
]
Так как ( n ) целое, 242 является членом прогрессии.
Найдите двадцать восьмой член арифметической прогрессии -30; -28; -26; ....
Формула для n-го члена:
[
a_{28} = a_1 + (28-1) \cdot d
]
где ( a_1 = -30 ) и ( d = 2 ).
[
a_{28} = -30 + 27 \cdot 2 = -30 + 54 = 24
]
Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии 2; 8; 32; ....
Формула для суммы первых ( n ) членов геометрической прогрессии:
[
S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
]
где ( a_1 = 2 ) и ( r = 4 ).
Подставим для пяти членов:
[
S_5 = 2 \cdot \frac{4^5 - 1}{4 - 1} = 2 \cdot \frac{1024 - 1}{3} = 2 \cdot 341 = 682
]
Является ли число 384 членом геометрической прогрессии ( b_n = 3 \cdot 2^n )?
Выразим ( n ):
[
3 \cdot 2^n = 384
]
[
2^n = 128 \implies n = 7
]
Число 384 является членом прогрессии.
Сумма второго и четвертого членов арифметической прогрессии равна 14, а седьмой её член на 12 больше третьего. Найдите разность и первый член данной прогрессии.
Пусть первый член ( a_1 = a ) и разность ( d ).
Второй член: ( a + d ), четвертый: ( a + 3d )
[
a + d + a + 3d = 14 \implies 2a + 4d = 14 \implies a + 2d = 7
]
Седьмой член: ( a + 6d ), третий: ( a + 2d )
[
a + 6d = a + 2d + 12 \implies 6d = 2d + 12 \implies 4d = 12 \implies d = 3
]
Подставим ( d = 3 ) в ( a + 2d = 7 ):
[
a + 6 = 7 \implies a = 1
]
Ответ: ( a = 1 ), ( d = 3 ).
