В парном танцевальном конкурсе 21 участник: восемь пар из школы № 1, шесть из школы № 2 и семь из школы № 3. Порядок выступлений определяется жребием. Какова вероятность того, что первой и последней будут выступать пары из школы № 3

Для того чтобы определить вероятность того, что первой и последней будут выступать пары из школы № 3, нам необходимо вычислить общее количество всех возможных вариантов расстановки пар и количество вариантов, в которых первой и последней будут выступать пары из школы № 3. 1. **Общее количество вариантов расстановки всех пар** Имеем общее количество участников в конкурсе: $21$ участник. Так как порядок выступлений определяется жребием, общее количество способов будет равно $21!$ (факториал числа $21$). 2. **Количество вариантов, где первой и последней выступают пары из школы № 3** У нас есть $7$ пар из школы № 3. Если мы зафиксируем первую пару как пару из школы № 3, то у нас есть всего $1$ логически верный вариант для последней пары (так как последней должна быть пара из школы № 3). Остается $19$ участников для заполнения оставшихся мест. Таким образом, количество способов, которыми можно разместить остальных участников, будет $(21-2)! = 19!$. 3. **Вычисление вероятности** Вероятность того, что первой и последней будут выступать пары из школы № 3, равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов: $$ P = \frac{19!}{21!} = \frac{19!}{21 \cdot 20 \cdot 19!} = \frac{1}{21 \cdot 20} = \frac{1}{420} $$ Итак, вероятность того, что первой и последней будут выступать пары из школы № 3, составляет $1/420$.