В парном танцевальном конкурсе 21 участник: восемь пар из школы № 1, шесть из школы № 2 и семь из школы № 3. Порядок выступлений определяется жребием. Какова вероятность того, что…

Для того чтобы определить вероятность того, что первой и последней будут выступать пары из школы № 3, нам необходимо вычислить общее количество всех возможных вариантов расстановки пар и количество вариантов, в которых первой и последней будут выступать пары из школы № 3.

1. Общее количество вариантов расстановки всех пар
   Имеем общее количество участников в конкурсе: \(21\) участник.
   Так как порядок выступлений определяется жребием, общее количество способов будет равно \(21!\) (факториал числа \(21\)).

2. Количество вариантов, где первой и последней выступают пары из школы № 3
   У нас есть \(7\) пар из школы № 3. Если мы зафиксируем первую пару как пару из школы № 3, то у нас есть всего \(1\) логически верный вариант для последней пары (так как последней должна быть пара из школы № 3). Остается \(19\) участников для заполнения оставшихся мест. Таким образом, количество способов, которыми можно разместить остальных участников, будет \((21-2)! = 19!\).

3. Вычисление вероятности
   Вероятность того, что первой и последней будут выступать пары из школы № 3, равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов:

   \[ P = \frac{19!}{21!} = \frac{19!}{21 \cdot 20 \cdot 19!} = \frac{1}{21 \cdot 20} = \frac{1}{420} \]

Итак, вероятность того, что первой и последней будут выступать пары из школы № 3, составляет \(1/420\).