На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке 0; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо…
На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке 0; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), соли выпадает четное число очков, и влево (отрицательное направление прямов, если выпалает нечётное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру.а) Может ли фишка оказаться на отметке 50, если Митя 30 раз бросил кубик?б) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке 50?в) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечетное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке 55, если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпалала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз.
Для решения данной задачи, давайте разберемся по пунктам.
а) Может ли фишка оказаться на отметке 50, если Митя 30 раз бросил кубик?
Рассмотрим общую ситуацию:
- Положительные перемещения: +1, +2, +3, ...
- Отрицательные перемещения: -1, -2, -3, ...
После 30 бросков кубика, двигаясь в обоих направлениях, Митя оказывается либо на нечетном, либо на четном числе. Каждый четный шаг следует обязательно продолжать четыре раза, затем смещение должно быть на нечетное число шагов, и так далее. Таким образом, фишка находится на числе 50 если и только если Митя делал шаги по второй схеме, переходя на 1 вправо и 4 влево по очереди, следовательно, допустимо 5 шагов.
б) Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке 50 при равном количестве четных и нечетных чисел?
- При равном количестве четных и нечетных чисел, сделать шаг направо и шаг налево повторяющимися на каждом следующем шаге. Рассмотрим движение сначала вправо: 1, 2, 3, 4, ..., n; и влево: -1, -2, -3, -4, ..., -n.
- Таким образом, сначала делаем 1 правый шаг, затем 1 левый, 2 правых, 2 левых, ... и так далее до n. Чтобы достичь 50, нам нужно сумму правых шагов приравнять к 50, 1+2+3+...+n = 50. Решая этот вопрос, получаем n = 10. Поэтому потребуется 10 бросков кубика.
в) Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке 55 при равном количестве четных и нечетных чисел?
- По условию, каждая грань кубика должна выпасть хотя бы один раз. Также, любые две грани не должны выпасть одинаковое количество раз.
- Аналогично пункту б, мы делаем поочередно шаги вправо и влево с увеличением числа шагов на каждом повторении. Ищем сумму, равную 55, то есть 1+2+3+...+n = 55.
- Решив это уравнение, получаем n = 10. То есть, для достижения отметки 55 потребуется 10 бросков кубика.
Таким образом, для каждого из сценариев получаем:
- а) Для отметки 50: 5 бросков
- б) Для отметки 50 при равном количестве четных и нечетных чисел: 10 бросков
- в) Для отметки 55 при равном количестве четных и нечетных чисел: 10 бросков
