Периметр прямоугольника равен см, а его диагональ – см (Рис. 1). Найти стороны прямоугольника

Для нахождения сторон прямоугольника, у которого известен периметр и диагональ, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Пусть длина прямоугольника будет \( a \), а ширина - \( b \).

2. Известно, что периметр прямоугольника равен сумме длины всех его сторон: \[ P = 2a + 2b \] По условию задачи, периметр равен см, поэтому: \[ 2a + 2b = P \] \[ 2a + 2b = см \] \[ a + b = см \]

3. Также известно, что для прямоугольника с диагональю \( c \) и сторонами \( a \) и \( b \) верно следующее соотношение: \[ c^2 = a^2 + b^2 \]

4. Подставим известные значения в уравнение: \[ (см)^2 = a^2 + b^2 \] \[ (см)^2 = a^2 + (\frac{ c^2 - a^2}{2})^2 \] \[ a^2 = \frac{c^2}{2} - \frac{(c^2 - a^2)^2}{4c} \] \[ a^2 = \frac{c^2}{2} - \frac{c^4 - 2c^2a^2 + a^4}{4c} \] \[ a^2 = \frac{4c^2 - (c^4 - 2c^2a^2 + a^4)}{8c} \] \[ a^2 = \frac{4c^2 - c^4 + 2c^2a^2 - a^4}{8c} \] \[ a^2 = \frac{4c^2 - c^4 + 2c^2a^2 - a^4}{8c} \] \[ 8c a^2 = 4c^2 - c^4 + 2c^2a^2 - a^4 \] \[ 8c a^2 - 2c^2a^2 + a^4 = 4c^2 - c^4 \] \[ a^4 - 2c^2a^2 + 8ca^2 = 4c^2 - c^4 \] \[ a^4 - 2c^2a^2 + 8ca^2 - 4c^2 + c^4 = 0 \] \[ (a^2 - 4c)(a^2 - c^2) = 0 \] \( a^2 = 4c \) или \( a^2 = c^2 \)

5. Зная \( a^2 \), найдем стороны прямоугольника \( a \) и \( b \).