Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если угол AOB =120° и MO = 14.

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства касательных к окружности.

1. Обозначим точки касания касательных МА и МВ как А' и В' соответственно. Также проведем радиусы окружности ОА' и ОВ', которые будут перпендикулярны касательным.
2. Рассмотрим треугольник OMA'.
   • Так как MO - радиус окружности, а ОА' - перпендикуляр к касательной, то треугольник OMA' является прямоугольным.
   • Также, учитывая, что угол OMA' равен 90° (из свойства касательной к окружности), получаем, что угол MOA' также равен 90°.
   • Из угла равенства в треугольнике ОМА' следует, что треугольник ОMA' - равнобедренный (так как ОМ = ОA').
3. Аналогично, можно рассмотреть треугольник OMB' и прийти к выводу, что он также равнобедренный.
4. Угол OAB' = OBA' = 120° / 2 = 60°, так как углы при основании равнобедренного треугольника равны.
5. Из треугольника OMA' по теореме косинусов мы можем найти длину отрезка A'M:
   • В прямоугольном треугольнике OMA' с гипотенузой MO и углом МОА' = 90°:
     \[ \cos 60° = \frac{MO}{A'M} \]
     \[ \frac{1}{2} = \frac{14}{A'M} \]
     \[ A'M = 2 \times 14 = 28 \]

Таким образом, расстояние между точками касания А и В, то есть отрезок А'В', равно 2A'M, т.е. 228 = 56.

Итак, расстояние между точками касания А и В составляет 56 единиц.