.

Для решения системы уравнений:

\[ \begin{cases} 4x + 5y = 11 \\ 2x + 3y = 5 \end{cases} \]

мы можем использовать метод подстановки или метод сложения. В данном случае применим метод сложения.

Шаг 1: Приведение уравнений к удобному виду

Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при \(x\) в обоих уравнениях были одинаковыми:

\[ \begin{cases} 4x + 5y = 11 \\ 4x + 6y = 10 \end{cases} \]

Шаг 2: Вычитание уравнений

Теперь вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от \(x\):

\[ (4x + 6y) - (4x + 5y) = 10 - 11 \]

\[ 4x + 6y - 4x - 5y = -1 \]

\[ y = -1 \]

Шаг 3: Подстановка значения \(y\) обратно в одно из уравнений

Теперь подставим \(y = -1\) в первое уравнение:

\[ 4x + 5(-1) = 11 \]

\[ 4x - 5 = 11 \]

\[ 4x = 16 \]

\[ x = 4 \]

Решение

Таким образом, решение системы уравнений:

\[ x = 4, \quad y = -1 \]

Проверка:

Подставим значения обратно в оба уравнения для проверки:

1. \(4(4) + 5(-1) = 16 - 5 = 11\) — верно.

2. \(2(4) + 3(-1) = 8 - 3 = 5\) — верно.

Решение проверено и соответствует обоим уравнениям.