Реши
Давайте разберем каждое из предложенных условий:
Найдите количество положительных четырехзначных чисел, в записи которых все цифры различны.
Для четырехзначного числа:
- Первая цифра (не может быть 0): 9 вариантов (от 1 до 9).
- Вторая цифра: 9 вариантов (все, кроме уже выбранной первой).
- Третья цифра: 8 вариантов (кроме уже выбранных первой и второй).
- Четвертая цифра: 7 вариантов (кроме уже выбранных).
Перемножим количество вариантов для каждой позиции: \[ 9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536. \]
Найдите количество неупорядоченных наборов 5-плоскостей в пространстве, в которых каждая из плоскостей параллельна какой-либо оси координат.
Рассмотрим, что в пространстве у нас три оси — x, y, z. Каждая плоскость может быть параллельна одной из этих осей.
Определим количество комбинаций из 5 плоскостей, где каждая параллельна одной из трех осей. Мы выбираем 5 из 3 возможных (с повторениями, так как может быть несколько плоскостей, параллельных одной и той же оси):
Это задача на сочетания с повторениями, количество вариантов рассчитывается по формуле: \[ C(n+k-1, k) = C(3+5-1, 5) = C(7, 5) = C(7, 2) = 21. \]
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, если даны длины его сторон.
Даны стороны треугольника: \( a = 3 \), \( b = 5 \), \( c = 4 \).
Для нахождения радиуса \( R \) окружности, описанной около треугольника, пользуемся формулой: \[ R = \frac{abc}{4K}, \] где \( K \) — площадь треугольника.
Сначала найдем \( K \) по формуле Герона. Полупериметр: \[ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{3 + 5 + 4}{2} = 6. \]
Затем площадь: \[ K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{6(6-3)(6-5)(6-4)} = \sqrt{6 \times 3 \times 1 \times 2} = \sqrt{36} = 6. \]
Теперь подставим в формулу радиуса: \[ R = \frac{3 \times 5 \times 4}{4 \times 6} = \frac{60}{24} = 2.5. \]
Таким образом, радиус описанной окружности равен \( 2.5 \).
