решить 4 номер
Давайте разберем номер 4 из задания. Здесь нужно решить квадратные неравенства.
Решение:
a) \( x^2 - 15x \leq 0 \)
Найдем нули функции:
Уравнение: \( x^2 - 15x = 0 \)
Разложим на множители:
\( x(x - 15) = 0 \)Следовательно, \( x = 0 \) или \( x = 15 \).
Построим числовую прямую и определим знаки:
Промежутки: \((-\infty, 0)\), \( (0, 15) \), \((15, +\infty)\).
Проверим знаки в каждом из интервалов. Выбираем тестовые точки, например: \(-1\), \(1\), и \(16\).
Для \(-1\): \( (-1)^2 - 15(-1) = 1 + 15 = 16 \), знак «+».
Для \(1\): \( 1^2 - 15\times1 = 1 - 15 = -14 \), знак «-».
Для \(16\): \( 16^2 - 15\times16 = 256 - 240 = 16 \), знак «+».
Решение неравенства:
Ищем, где выражение неположительное (знак «−» и нули): \[ x \in [0, 15] \]
b) \( -x^2 - 7x < 0 \)
Найдем нули функции:
Уравнение: \( -x^2 - 7x = 0 \)
Разложим на множители:
\( -x(x + 7) = 0 \)Следовательно, \( x = 0 \) или \( x = -7 \).
Построим числовую прямую и определим знаки:
Промежутки: \((-\infty, -7)\), \((-7, 0)\), \((0, +\infty)\).
Проверим знаки в каждом из интервалов. Выбираем тестовые точки, например: \(-8\), \(-1\), и \(1\).
Для \(-8\): \( -(-8)^2 - 7(-8) = -64 + 56 = -8 \), знак «-».
Для \(-1\): \( -(-1)^2 - 7(-1) = -1 + 7 = 6 \), знак «+».
Для \(1\): \( -1^2 - 7\times1 = -1 - 7 = -8 \), знак «-».
Решение неравенства:
Ищем, где выражение положительное (знак «+»): \[ x \in (-7, 0) \]
Таким образом, решения для 4 задачи:
- a) \( x \in [0, 15] \)
- b) \( x \in (-7, 0) \)
