Контрольная работа по теме "Числовые последовательности" 1 вариант Часть А 1.Дана арифметическая прогрессия: 22;18;14;… Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.…

Цель: Понять

Часть А:

1. Для нахождения первого отрицательного члена арифметической прогрессии, нам нужно определить шаг (разность) между членами. В данном случае, разность между каждыми двумя последовательными членами равна -4 (22 - 18 = 4, 18 - 14 = 4). Это говорит о том, что каждый следующий член уменьшается на 4. Таким образом, чтобы найти первый отрицательный член, мы можем продолжать уменьшать на 4 от последнего положительного члена:

   14 - 4 = 10 10 - 4 = 6 6 - 4 = 2

   Таким образом, первый отрицательный член арифметической прогрессии равен 2.

2. Для арифметической прогрессии \( a_n = 5n - 7 \), нам нужно определить, является ли одно из данных чисел членом этой прогрессии. Мы можем найти \( n \) для каждого числа и убедиться, что это натуральное число.

   • Проверим числа:
     1. \( n = (56 + 7) / 5 = 63 / 5 = 12.6 \) - не является натуральным.
     2. \( n = (65 + 7) / 5 = 72 / 5 = 14.4 \) - не является натуральным.
     3. \( n = (22 + 7) / 5 = 29 / 5 = 5.8 \) - не является натуральным.
     4. \( n = (43 + 7) / 5 = 50 / 5 = 10 \) - является натуральным.
        Таким образом, число 43 является членом данной арифметической прогрессии.

3. Для нахождения суммы первых пяти членов геометрической прогрессии с начальным членом \( b = 6 \) и коэффициентом прогрессии \( q = 2 \), мы можем использовать формулу суммы геометрической прогрессии:
   \[ S_n = \frac{b(q^n - 1)}{q - 1} \]
   Подставим заданные значения:
   \[ S_5 = \frac{6(2^5 - 1)}{2 - 1} = \frac{6(32 - 1)}{1} = \frac{6 \cdot 31}{1} = 186 \]
   Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 186.

4. Для нахождения первого члена геометрической прогрессии, где \( b_1 = 3 \) и \( q = 2 \), мы можем использовать формулу \( a_n = b q^{n-1} \) и подставить значения:
   \[ a_1 = 3 \cdot 2^{1-1} = 3 \cdot 2^0 = 3 \cdot 1 = 3 \]
   Таким образом, первый член данной геометрической прогрессии равняется 3.

Часть В:

5. Для нахождения двадцать третьего члена арифметической прогрессии с \( a_1 = -15 \) и шагом \( d = 3 \) мы можем использовать формулу \( a_n = a_1 + (n - 1)d \).
   Подставим данные:
   \( a_{23} = -15 + (23 - 1) \cdot 3 = -15 + 22 \cdot 3 = -15 + 66 = 51 \)
   Таким образом, двадцать третий член равен 51.

6. Чтобы узнать, является ли число 54,5 членом арифметической прогрессии \( a_n \) с \( a_1 = 25,5 \) и \( a_9 = 5,5 \), мы можем найти разность арифметической прогрессии и проверить, входит ли число 54,5 в эту прогрессию.
   Разность арифметической прогрессии:
   \( d = \frac{a_9 - a_1}{9 - 1} = \frac{5,5 - 25,5}{8} = \frac{-20}{8} = -2,5 \)
   Теперь мы можем проверить, является ли число 54,5 членом арифметической прогрессии:
   \( a_1 + (n - 1)d = 25,5 + (n - 1)(-2,5) = 25,5 - 2,5n + 2,5 = 54,5 \)
   \( 2,5n = 31 \)
   \( n = 12,4 \)
   Так как \( n \) не является натуральным числом, число 54,5 не является членом данной арифметической прогрессии.

Это детальные решения задач из контрольной работы по числовым последовательностям.