Катер прошёл по течению реки 72 км, повернув обратно, он прошёл ещё 54 км, затратив на весь путь 9 часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 5…

Обозначим собственную скорость катера как \( v \) км/ч.

Когда катер движется по течению реки, его эффективная скорость увеличивается на скорость течения, то есть \( v + 5 \) км/ч.

Когда же катер движется против течения, его эффективная скорость уменьшается на скорость течения до \( v - 5 \) км/ч.

Мы знаем, что время, затраченное на движение по течению, и время, затраченное на движение против течения, в сумме равны 9 часам.

По формуле времени можно записать уравнение: \[ \frac{72}{v+5} + \frac{54}{v-5} = 9 \]

Умножим обе стороны на \( (v+5)(v-5) \), чтобы избавиться от знаменателей: \[ 72(v-5) + 54(v+5) = 9(v^2-25) \] \[ 72v - 360 + 54v + 270 = 9v^2 - 225 \] \[ 126v - 90 = 9v^2 - 225 \] \[ 9v^2 - 126v + 135 = 0 \]

Разделим обе стороны уравнения на 9 для удобства: \[ v^2 - 14v + 15 = 0 \]

Это уравнение квадратное. Решим его с помощью квадратного уравнения: \[ v = \frac{-(-14) \pm \sqrt{(-14)^2 - 4*1*15}}{2*1} \] \[ v = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 60}}{2} \] \[ v = \frac{14 \pm \sqrt{136}}{2} \] \[ v = \frac{14 \pm 2\sqrt{34}}{2} \]

Таким образом, получаем два возможных значения для скорости катера: \( v_1 = 7 + \sqrt{34} \approx 12.78 \) км/ч и \( v_2 = 7 - \sqrt{34} \approx 1.22 \) км/ч.

Так как скорость не может быть отрицательной, ответ: собственная скорость катера составляет около 12.78 км/ч.