Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 77 км, вышел катер. Дойдя до пункта В, он вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

**Решение:** Пусть скорость катера в стоячей воде равна \( v \) км/ч. 1. При движении по течению: - Скорость катера относительно воды равна \( v + 4 \) км/ч (текущ скорость реки). - Время пути туда: \( \frac{77}{v+4} \) часов. 2. При движении против течения: - Скорость катера относительно воды равна \( v - 4 \) км/ч. - Обратный путь занимает на 2 часа меньше, поэтому время обратного пути: \( \frac{77}{v-4} - 2 \) часа. Так как расстояние между пунктами не меняется, сумма времен движения в обоих направлениях должна быть одинакова. Следовательно, уравнение: \[ \frac{77}{v+4} = \frac{77}{v-4} - 2 \] Упростим это уравнение: \[ \frac{77}{v+4} = \frac{77}{v-4} - 2 \] \[ \frac{77}{v+4} = \frac{77 - 2(v - 4)}{v-4} \] \[ \frac{77}{v+4} = \frac{77 - 2v + 8}{v-4} \] \[ \frac{77}{v+4} = \frac{85 - 2v}{v-4} \] \[ 77(v-4) = (85-2v)(v+4) \] \[ 77v - 308 = 85v + 340 - 2v^2 - 8v \] \[ 77v - 308 = 85v + 340 - 2v^2 - 8v \] \[ 0 = 2v^2 + 8v + 85v + 340 - 77v + 308 \] \[ 2v^2 + 16v + 648 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ v = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4*2*648}}{2*2} \] \[ v = \frac{-16 \pm \sqrt{256 - 5184}}{4} \] \[ v = \frac{-16 \pm \sqrt{-4928}}{4} \] Учитывая, что выражение под корнем отрицательное, это значит, что у нас нет реальных корней для уравнения. Значит, задача некорректна в текущей формулировке. Итак, собственная скорость катера не может быть определена на основе данной информации.