реши уравнение 4x²+12x+9=(x+4)²

Цель: Понять

Решение:

Дано уравнение:
\[ 4x^2 + 12x + 9 = (x + 4)^2 \]

Для начала раскроем правую часть уравнения \((x + 4)^2\), используя формулу квадрата суммы:
\[ (x + 4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16 \]

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:
\[ 4x^2 + 12x + 9 = x^2 + 8x + 16 \]

Разложим все члены уравнения и приведем подобные слагаемые:
\[ 4x^2 + 12x + 9 = x^2 + 8x + 16 \]
\[ 4x^2 - x^2 + 12x - 8x + 9 - 16 = 0 \]
\[ 3x^2 + 4x - 7 = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 3\), \(b = 4\), и \(c = -7\).

Чтобы найти корни такого уравнения, можно воспользоваться формулой дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \]

Посчитаем дискриминант: \[ D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100 \]

Так как дискриминант \(D\) положительный, уравнение имеет два корня, которые можно найти при помощи формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим значения: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{-4 \pm 10}{6} \]

Теперь найдем значения \(x\): \[ x_1 = \frac{-4 + 10}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-4 - 10}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3} \]

Итак, корни уравнения \(4x^2 + 12x + 9 = (x + 4)^2\) равны \(x = 1\) и \(x = -\frac{7}{3}\).