Цель: Понять
Решение:
Дано уравнение:
[ 4x^2 + 12x + 9 = (x + 4)^2 ]
Для начала раскроем правую часть уравнения ((x + 4)^2), используя формулу квадрата суммы:
[ (x + 4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16 ]
Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:
[ 4x^2 + 12x + 9 = x^2 + 8x + 16 ]
Разложим все члены уравнения и приведем подобные слагаемые:
[ 4x^2 + 12x + 9 = x^2 + 8x + 16 ]
[ 4x^2 - x^2 + 12x - 8x + 9 - 16 = 0 ]
[ 3x^2 + 4x - 7 = 0 ]
Теперь у нас есть квадратное уравнение вида (ax^2 + bx + c = 0), где (a = 3), (b = 4), и (c = -7).
Чтобы найти корни такого уравнения, можно воспользоваться формулой дискриминанта:
[ D = b^2 - 4ac ]
Посчитаем дискриминант:
[ D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100 ]
Так как дискриминант (D) положительный, уравнение имеет два корня, которые можно найти при помощи формулы:
[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]
Подставим значения:
[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} ]
[ x = \frac{-4 \pm 10}{6} ]
Теперь найдем значения (x):
[ x_1 = \frac{-4 + 10}{6} = \frac{6}{6} = 1 ]
[ x_2 = \frac{-4 - 10}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3} ]
Итак, корни уравнения (4x^2 + 12x + 9 = (x + 4)^2) равны (x = 1) и (x = -\frac{7}{3}).
