x^2+5x-14>0
Для решения неравенства \(x^2 + 5x - 14 > 0\) воспользуемся методом нахождения интервалов, на которых это неравенство будет выполнено.
- Находим корни уравнения:
Начнем с нахождения корней уравнения \(x^2 + 5x - 14 = 0\).
Для этого нам нужно найти такие два числа \(a\) и \(b\), которые удовлетворяют условиям: \(a \cdot b = -14\) и \(a + b = 5\).
Две такие числа, которые удовлетворяют этим условиям, это \(7\) и \(-2\), так как \(7 \cdot (-2) = -14\) и \(7 + (-2) = 5\).
Следовательно, уравнение имеет корни \(x = 7\) и \(x = -2\).
Построение числовой прямой:
Теперь разобьем числовую прямую на три интервала на основе найденных корней:- От \(-\infty\) до \(-2\),
- От \(-2\) до \(7\),
- От \(7\) до \(+\infty\).
Проверка знака многочлена на каждом интервале:
Интервал (-∞, -2): Подставляем любое значение из этого интервала, например, \(x = -3\):
\( (-3)^2 + 5(-3) - 14 > 0 \)
\( 9 - 15 - 14 > 0 \)
\( -20 > 0 \) - Ложь
Значит, на этом интервале неравенство \(x^2 + 5x - 14 > 0\) не выполняется.Интервал (-2, 7): Подставляем любое значение из этого интервала, например, \(x = 0\):
\( 0^2 + 5(0) - 14 > 0 \)
\( -14 > 0 \) - Ложь
Значит, на этом интервале неравенство также не выполняется.Интервал (7, +∞): Подставляем значение из этого интервала, например, \(x = 8\):
\( 8^2 + 5(8) - 14 > 0 \)
\( 64 + 40 - 14 > 0 \)
\( 90 - 14 > 0 \)
\( 76 > 0 \) - Истина
Значит, на интервале (7, +∞) неравенство \(x^2 + 5x - 14 > 0\) выполняется.
Ответ:
Решение неравенства \(x^2 + 5x - 14 > 0\) - это интервал значений \(x\), для которых неравенство выполняется, то есть:
\[x \in (-\infty, -2) \cup (7, +\infty)\].
