. Дано: А(4; 0), B(12; -2), C(5; 9). Для треугольника АВС найди-те: 1) его периметр; 2) длину медианы AN; 3) координаты центра описан-ной окружности и ее радиуса
Решение:
Периметр треугольника ABC: Для нахождения периметра треугольника нужно вычислить сумму длин его сторон. Используем формулу для расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:
Расстояние между точками A и B: \[ AB = \sqrt{(12 - 4)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{8^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} \]
Расстояние между точками B и C: \[ BC = \sqrt{(5 - 12)^2 + (9 - (-2))^2} = \sqrt{(-7)^2 + 11^2} = \sqrt{49 + 121} = \sqrt{170} \]
Расстояние между точками C и A: \[ AC = \sqrt{(5 - 4)^2 + (9 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 9^2} = \sqrt{1 + 81} = \sqrt{82} \]
Тогда периметр треугольника ABC равен: \[ P = AB + BC + AC = \sqrt{68} + \sqrt{170} + \sqrt{82} \]
Длина медианы AN: Медиана треугольника проходит из вершины до середины противоположной стороны. Для нахождения длины медианы AN (где N - середина стороны BC) можем использовать факт, что медиана делит сторону пополам.
Точка N(середина BC): \[ N\left(\frac{5+12}{2}; \frac{9+(-2)}{2}\right) = N(8.5; 3.5) \] Далее находим длину медианы AN: \[ AN = \sqrt{(8.5 - 4)^2 + (3.5 - 0)^2} = \sqrt{4.5^2 + 3.5^2} = \sqrt{20.25 + 12.25} = \sqrt{32.5} \]Координаты центра описанной окружности и ее радиус: Центр описанной окружности треугольника ABC - точка пересечения перпендикуляров, проведенных на середины сторон треугольника.
Координаты центра окружности O: \[ O\left(\frac{4+12+5}{3}; \frac{0+(-2)+9}{3}\right) = O(7; 2.33) \]Радиус описанной окружности - равен расстоянию от центра до любой вершины. Выберем, например, вершину A: \[ OA = \sqrt{(7-4)^2 + (2.33-0)^2} = \sqrt{3^2 + 2.33^2} = \sqrt{9 + 5.4289} = \sqrt{14.4289} \]
Таким образом, ответы на поставленные вопросы:
- Периметр треугольника ABC:
\[ P = \sqrt{68} + \sqrt{170} + \sqrt{82} \] - Длина медианы AN:
\[ AN = \sqrt{32.5} \] - Координаты центра описанной окружности: O(7; 2.33)
Радиус описанной окружности:
\[ r = \sqrt{14.4289} \]
