3х+х^2<0

**Решение:** Для того чтобы решить неравенство \(3x + x^2 < 0\), нам нужно найти интервалы значений \(x\), где данное неравенство выполняется. 1. Сначала перепишем неравенство в стандартной форме: \[x^2 + 3x < 0\] 2. Затем факторизуем выражение: \[x(x + 3) < 0\] 3. Теперь найдем корни уравнения \(x(x + 3) = 0\): \[ \begin{cases} x = 0 \\ x + 3 = 0 \implies x = -3 \end{cases} \] 4. Получили два значения \(x = 0\) и \(x = -3\), которые делят ось \(x\) на три интервала: \((-∞, -3)\), \((-3, 0)\) и \((0, +∞)\). 5. Для определения знака выражения \(x(x + 3)\) на каждом из интервалов, выберем произвольное значение в каждом интервале и подставим его в выражение: - При \(x = -4\) (в интервале \((-∞, -3)\)): \((-4)\cdot((-4)+3) > 0\) - При \(x = -2\) (в интервале \((-3, 0)\)): \((-2)\cdot((-2)+3) < 0\) - При \(x = 1\) (в интервале \((0, +∞)\)): \(1\cdot(1+3) > 0\) Таким образом, неравенство \(3x + x^2 < 0\) выполняется для значений \(x\) из интервала \((-3, 0)\), то есть решением является: \[x \in (-3, 0)\]