Найти медиану, проведённую к стороне AC

Для нахождения медианы, проведённой к стороне \( AC \), воспользуемся формулой для медианы в треугольнике:

\[ m = \sqrt{\frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}} \]

Здесь:

• \( a \) — сторона, к которой проводится медиана (в нашем случае \( AC \)).
• \( b \) и \( c \) — другие стороны треугольника.

Дано:

• \( AB = 8 \)
• \( \angle A = 60^\circ \)
• \( \angle C = 45^\circ \)

Найдём сторону \( AC \) с помощью теоремы косинусов в треугольнике \( ABC \).

Сначала найдём угол \( B \): \[ \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \]

Теперь, зная два угла и сторону \( AB \), можем найти стороны \( BC \) и \( AC \) с помощью синусоиды:

\[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \]

1. Найдём \( BC \):

\[ BC = \frac{AB \cdot \sin A}{\sin C} = \frac{8 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} \]

\[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ BC = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]

\[ BC = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 8 \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = 4\sqrt{6} \]

2. Найдём \( AC \):

\[ AC = \frac{AB \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{8 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} \]

\[ \sin 75^\circ = \sin(90^\circ - 15^\circ) = \cos 15^\circ = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ AC = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]

Теперь, используя формулу медианы, найдём медиану, проведённую к \( AC \):

\[ m = \sqrt{\frac{2 \cdot (8)^2 + 2 \cdot (4\sqrt{6})^2 - (8\sqrt{3})^2}{4}} \]

Считаем:

\[ m = \sqrt{\frac{2 \cdot 64 + 2 \cdot 96 - 192}{4}} \] \[ m = \sqrt{\frac{128 + 192 - 192}{4}} \] \[ m = \sqrt{\frac{128}{4}} \] \[ m = \sqrt{32} \] \[ m = 4\sqrt{2} \]

Таким образом, медиана, проведённая к стороне \( AC \), равна \( 4\sqrt{2} \).