Дано:
- Равнобедренный треугольник $ABC$ с углом при вершине $A$ равным $120^\circ$.
- Высота треугольника, проведенная из вершины $B$, равна 13.
Чтобы найти длину стороны $BC$, обозначим эту длину за $x$ (см. длина стороны $BC$ на изображении ниже).
Известно, что в равнобедренном треугольнике высота проведенная из вершины, в которой стыкуются основание и высота, делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Поскольку угол при вершине $A$ равен $120^\circ$, угол $BAC$ будет равен $30^\circ$ (внешний угол треугольника).
Также, т.к. треугольник $ABC$ равнобедренный, угол $BCA$ также будет равен $30^\circ$.
Посмотрим на прямоугольный треугольник $ABD$:
- В этом треугольнике, угол $BAD$ (прямой угол) равен $90^\circ$.
- Угол $BDA$ равен $30^\circ$ (как угол в прямоугольном треугольнике), также это угол равен углу $BCA$ в треугольнике $ABC$.
- Сторона $AD$ равна 13 (высота треугольника).
Теперь можем найти $BD$ в прямоугольном треугольнике $ABD$ при помощи тригонометрических функций.
Из прямоугольного треугольника $ABD$:
$$\tan 30^\circ = \frac{AD}{BD}$$
$$\tan 30^\circ = \frac{13}{BD}$$
$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{13}{BD}$$
Отсюда получаем $$BD = 13\sqrt{3}$$
Так как в равнобедренном треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $AC$ равны (из-за свойств равнобедренного треугольника), длина стороны $BC$ равна $2 \cdot BD$:
$$BC = 2 \cdot BD = 2 \cdot 13\sqrt{3} = 26\sqrt{3}$$
Таким образом, длина стороны $BC$ равна $26\sqrt{3}$ (единицы измерения стороны обозначаются в условии).
