Новая функция F(n) для натурального n задаётся рекурсивно: 1. F(n) = 1, если n ≤ 2; 2. F(n) = n · F(n − 2), если n > 2. Нужно найти отношение (F(3000))/(F(2996)).

Цель:
Цель состоит в том, чтобы понять, как найти отношение \(\frac{F(3000)}{F(2996)}\).

Решение:

Дана функция \(F(n)\), заданная рекурсивно:

1. \(F(n) = 1\), если \(n ≤ 2\);
2. \(F(n) = n \cdot F(n - 2)\), если \(n > 2\).

Мы хотим найти отношение \(\frac{F(3000)}{F(2996)}\), используя данное определение функции. Для этого нам необходимо сначала вычислить значения функции \(F\) для \(n = 3000\) и \(n = 2996\), а затем подставить их в формулу для отношения.

1. Начнем с \(n = 3000\):

   • Так как \(3000 > 2\), применяем второе условие: \(F(3000) = 3000 \cdot F(3000 - 2) = 3000 \cdot F(2998)\).

2. Переходим к \(n = 2998\):

   • \(2998 > 2\), применяем второе условие: \(F(2998) = 2998 \cdot F(2998 - 2) = 2998 \cdot F(2996)\).

3. Теперь находим \(F(2996)\):

   • \(2996 > 2\), применяем второе условие: \(F(2996) = 2996 \cdot F(2996 - 2) = 2996 \cdot F(2994)\).

4. Продолжая таким образом, получим:

   • \(F(2994) = 2994 \cdot F(2994 - 2) = 2994 \cdot F(2992)\);
   • \(F(2992) = 2992 \cdot F(2992 - 2) = 2992 \cdot F(2990)\);
   • \(F(2990) = 2990 \cdot F(2990 - 2) = 2990 \cdot F(2988)\); и так далее, пока не дойдем до \(F(3000)\).

5. Подставляем значения обратно и находим отношение: \(\frac{F(3000)}{F(2996)} = \frac{3000 \cdot F(2998)}{2996 \cdot F(2994)} = \frac{3000 \cdot (2998 \cdot F(2996))}{2996 \cdot (2994 \cdot F(2992))} = ... = \frac{3000 \cdot 2998 \cdot 2996}{2996 \cdot 2994 \cdot 2992}\).

6. Упрощаем выражение: \(\frac{3000 \cdot 2998 \cdot 2996}{2996 \cdot 2994 \cdot 2992} = \frac{3000}{2994} = \frac{125}{124}\).

Итак, искомое отношение \(\frac{F(3000)}{F(2996)} = \frac{125}{124}\).