Реши

Для решения задачи найдем уравнение поверхности, образованной вращением данной линии вокруг двух осей.

Дано:

Линия задана уравнениями: \[ z^2 = 14y \] \[ x = 0 \]

а) Вращение вокруг оси \(Oy\):

При вращении вокруг оси \(Oy\), уравнение обыкновенно преобразуется с использованием цилиндрической симметрии относительно этой оси. Уравнение становится:

1. Исходные уравнения: \[ z^2 = 14y \]

2. Вращаем вокруг \(Oy\), где линия \(x = 0\) вращается, образуя цилиндрическую фигуру в плоскости \(xz\).

3. Чтобы учесть вращение, добавим переменную \(x\) как радиус: \[ z^2 + x^2 = 14y \]

Это уравнение описывает цилиндрическую поверхность.

б) Вращение вокруг оси \(Oz\):

При вращении вокруг оси \(Oz\), используется другая ось симметрии. Уравнение трансформируется так:

1. Исходные уравнения: \[ z^2 = 14y \]

2. Вращаем вокруг \(Oz\), теперь учитывается полный радиус в плоскости \(xy\). Поэтому: \[ x^2 + y^2 = r^2 \]

3. Подставим найденное: \[ z^2 = 14(y^2 + x^2) \]

Это уравнение описывает поверхность типа филипподоида.

Таким образом, мы получили уравнения поверхностей, возникающие при вращении заданной линии вокруг разных осей.