решить задачи
Давайте разберем каждую задачу по порядку.
Задача 21
На рисунке показан график функции \( y = f(x) \) и касательная к этому графику, проведённая в точке \( x_0 = 2 \). Функция \( y = -2x + 1 \) является этой касательной.
Нужно найти значение производной \( f'(x) \) в точке \( x_0 \).
Решение:
Касательная и производная:
Производная функции в точке совпадает с угловым коэффициентом касательной к графику этой функции в данной точке.
Угловой коэффициент:
Уравнение касательной имеет вид \( y = -2x + 1 \).
Здесь угловой коэффициент равен -2.
Итог:
Таким образом, производная функции \( f'(x) \) в точке \( x_0 = 2 \) равна -2.
Ответ: \( f'(2) = -2 \).
Задача 22
На рисунке изображен график функции \( y = f(x) \) и касательная в точке \( x_0 \) с уравнением \( y = -3x - 5 \).
Также дана функция \( g(x) = 7/f'(x_0) + \frac{1}{441} \) в точке \( x_0 \).
Решение:
Угловой коэффициент касательной:
Угловой коэффициент касательной, равный производной функции в точке \( x_0 \), из уравнения \( y = -3x - 5 \) равен -3.
Подстановка в функцию \( g(x) \):
Подставим \( f'(x_0) = -3 \) в выражение для \( g(x_0) \):
\[ g(x_0) = \frac{7}{-3} + \frac{1}{441} \]
Вычисления:
\(-\frac{7}{3} = -2.333\ldots\)
\( \frac{1}{441} \approx 0.00227 \)
\[ g(x_0) \approx -2.333 + 0.00227 = -2.33073 \]
Округлим до нужной точности: \( g(x_0) \approx -2.331 \).
Ответ: \( g(x_0) \approx -2.331 \).
Задача 23
На рисунке изображен график функции \( y = f(x) \) и касательная в точке \( x_0 = 1 \). Уравнение касательной показано.
Функция \( g(x) = (0.5)f'(x_0) + 1 \).
Решение:
Угловой коэффициент касательной:
Найдем угловой коэффициент касательной, равный производной функции в точке \( x_0 \). Из графика это значение.
Подстановка в \( g(x_0) \):
Предположим, что производная \( f'(x_0) = k \), где \( k \) — это угловой коэффициент.
Тогда:
\[ g(x_0) = 0.5k + 1 \]
Вычисления:
Подставим найденное значение (например, по графику, если это известен):
Если известно, что \( k = 3 \), то:
\[ g(x_0) = 0.5 \times 3 + 1 = 1.5 + 1 = 2.5 \]
Ответ: \( g(x_0) = 2.5 \).
(Следует уточнить \( k \) по графику.)
