определи

Для решения задачи найдем частичную сумму \( S_3 \) заданного ряда:

Ряд выглядит следующим образом:

\[ 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \ldots \]

Это геометрическая прогрессия, где первый член \( a_1 = 1 \), а знаменатель прогрессии \( q = \frac{1}{4} \).

Формула для суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии:

\[ S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} \]

Подставим значения для нахождения \( S_3 \):

\[ S_3 = 1 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^3}{1 - \frac{1}{4}} \]

1. Найдем \( \left(\frac{1}{4}\right)^3 \):

\[ \left(\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{1}{64} \]

2. Подставим в формулу:

\[ S_3 = \frac{1 - \frac{1}{64}}{1 - \frac{1}{4}} \]

3. Вычисляем числитель и знаменатель:

Числитель: \( 1 - \frac{1}{64} = \frac{64}{64} - \frac{1}{64} = \frac{63}{64} \)

Знаменатель: \( 1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)

4. Делим числитель на знаменатель:

\[ S_3 = \frac{\frac{63}{64}}{\frac{3}{4}} = \frac{63}{64} \cdot \frac{4}{3} = \frac{63 \times 4}{64 \times 3} \]

5. Упростим:

\[ = \frac{252}{192} = \frac{21}{16} \]

Таким образом, частичная сумма \( S_3 \) равна \(\frac{21}{16}\).

Ответ: \(\frac{21}{16}\).