Для решения задачи найдем частичную сумму ( S_3 ) заданного ряда:
Ряд выглядит следующим образом:
[
1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \ldots
]
Это геометрическая прогрессия, где первый член ( a_1 = 1 ), а знаменатель прогрессии ( q = \frac{1}{4} ).
Формула для суммы первых ( n ) членов геометрической прогрессии:
[
S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}
]
Подставим значения для нахождения ( S_3 ):
[
S_3 = 1 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^3}{1 - \frac{1}{4}}
]
- Найдем ( \left(\frac{1}{4}\right)^3 ):
[
\left(\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{1}{64}
]
- Подставим в формулу:
[
S_3 = \frac{1 - \frac{1}{64}}{1 - \frac{1}{4}}
]
- Вычисляем числитель и знаменатель:
Числитель: ( 1 - \frac{1}{64} = \frac{64}{64} - \frac{1}{64} = \frac{63}{64} )
Знаменатель: ( 1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} )
- Делим числитель на знаменатель:
[
S_3 = \frac{\frac{63}{64}}{\frac{3}{4}} = \frac{63}{64} \cdot \frac{4}{3} = \frac{63 \times 4}{64 \times 3}
]
- Упростим:
[
= \frac{252}{192} = \frac{21}{16}
]
Таким образом, частичная сумма ( S_3 ) равна (\frac{21}{16}).
Ответ: (\frac{21}{16}).
