Реши с графиком

Давайте решим поставленную задачу. Нам дана функция \( y = x(x - 2)^2 \), и мы должны исследовать ее, построить график и найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке \([0.5; 2.5]\).

Шаг 1: Исследование функции

Для исследования функции найдем производную, чтобы определить критические точки, где функция может иметь экстремумы.

Функция: \[ y = x(x - 2)^2 \]

Применим правило произведения для нахождения производной:

\[ y' = \frac{d}{dx}[x]\cdot(x - 2)^2 + x\cdot\frac{d}{dx}[(x - 2)^2] \]

Продифференцируем:

1. \(\frac{d}{dx}[x] = 1\)
2. \((x-2)^2\) производная по \(x\) равна \(2(x-2)\)

Теперь подставим: \[ y' = 1 \cdot (x-2)^2 + x \cdot 2(x-2) \] \[ y' = (x-2)^2 + 2x(x-2) \] \[ y' = (x-2)((x-2) + 2x) \] \[ y' = (x-2)(3x-2) \]

Шаг 2: Найдем критические точки

Для поиска критических точек, приравняем производную нулю: \[ (x-2)(3x-2) = 0 \]

Решаем каждое уравнение:

1. \( x-2 = 0 \) → \( x = 2 \)
2. \( 3x-2 = 0 \) → \( 3x = 2 \) → \( x = \frac{2}{3} \)

Критические точки: \( x = 2, \frac{2}{3} \).

Шаг 3: Исследуем поведение функции на отрезке \([0.5; 2.5]\)

Проверим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

1. \( y(0.5) = 0.5(0.5 - 2)^2 = 0.5 \times 2.25 = 1.125 \)
2. \( y\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3}\left(\frac{2}{3} - 2\right)^2 = \frac{2}{3} \times \left(-\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{2}{3} \times \frac{16}{9} = \frac{32}{27} \approx 1.185 \)
3. \( y(2) = 2(2 - 2)^2 = 0 \)
4. \( y(2.5) = 2.5(2.5 - 2)^2 = 2.5 \times 0.25 = 0.625 \)

Шаг 4: Определяем наибольшее и наименьшее значения

• Наименьшее значение: 0 при \( x = 2 \)
• Наибольшее значение: \(\frac{32}{27} \approx 1.185\) при \( x = \frac{2}{3} \)

График функции

Функция имеет минимум в точке \( x = 2 \) и максимум в точке \( x = \frac{2}{3} \) на данном отрезке. График квадратичной функции выглядит как парабола. В данном случае он направлен вверх, так как доминирует положительный множитель \( x \), увеличивая рост сильно при больших \( x \).

Итог

Проделав математические вычисления и построив график, мы нашли, что наименьшее значение функции на отрезке \([0.5; 2.5]\) равно 0, а наибольшее значение приближено к 1.185.