реши

По данному изображению на доске записаны два уравнения. Рассмотрим их по очереди.

Уравнение 1

\[ \sqrt{5x + 1} = 3 \]

Шаг 1: Убедимся, что подкоренное выражение неотрицательно: \[ 5x + 1 \geq 0 \] Отсюда следует: \[ 5x \geq -1 \] \[ x \geq -\frac{1}{5} \]

Шаг 2: Возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \[ (\sqrt{5x + 1})^2 = 3^2 \] \[ 5x + 1 = 9 \]

Шаг 3: Решим линейное уравнение: \[ 5x = 9 - 1 \] \[ 5x = 8 \] \[ x = \frac{8}{5} \]

Шаг 4: Проверим решение: Подставим \( x = \frac{8}{5} \) в подкоренное выражение: \[ 5 \cdot \frac{8}{5} + 1 = 8 + 1 = 9 \] \[ \sqrt{9} = 3 \] Ответ: \( x = \frac{8}{5} \).

Уравнение 2

\[ \sqrt{2x + 3} = x \]

Шаг 1: Убедимся, что подкоренное выражение неотрицательно и что правая часть тоже: \[ 2x + 3 \geq 0 \Rightarrow 2x \geq -3 \Rightarrow x \geq -\frac{3}{2} \] \[ x \geq 0 \] (поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным)

Шаг 2: Возведем обе стороны уравнения в квадрат: \[ (\sqrt{2x + 3})^2 = x^2 \] \[ 2x + 3 = x^2 \]

Шаг 3: Приведем уравнение к квадратному виду: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \] \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 4}{2} \]

\[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \]

Шаг 5: Проверим полученные решения:

• Для \( x = 3 \): \[ \sqrt{2 \cdot 3 + 3} = \sqrt{9} = 3 \] Подходит.

• Для \( x = -1 \): \[ \sqrt{2 \cdot (-1) + 3} = \sqrt{1} = 1 \] Это не равно \(-1\), поэтому не подходит.

Ответ: \( x = 3 \).