2cos^2x+sin(x-π/2)=0 Укажи корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π;7π/2]
Дано уравнение: \(2\cos^2 x + \sin(x-\frac{\pi}{2}) = 0\) и требуется найти корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([2\pi; \frac{7\pi}{2}]\).
Для начала рассмотрим уравнение \(2\cos^2 x + \sin(x-\frac{\pi}{2}) = 0\).
Заметим, что \(\sin(x-\frac{\pi}{2}) = \sin x \cos(\frac{\pi}{2}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{2}) = \cos x\).
Теперь подставим обратно в исходное уравнение, чтобы получить новое уравнение только относительно косинуса: \(2\cos^2 x + \cos x = 0\).
Это уравнение можно переписать так: \(2\cos x(\cos x + \frac{1}{2}) = 0\).
Таким образом, имеем два случая:
\(2\cos x = 0\)
Решая это уравнение, получаем \(\cos x = 0\), что значит \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - целое число.\(\cos x + \frac{1}{2} = 0\)
Решая это уравнение, получаем \(\cos x = -\frac{1}{2}\), что значит \(x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\) или \(x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi\), где \(k\) - целое число.
Теперь рассмотрим найденные корни и определим те, которые принадлежат отрезку \([2\pi; \frac{7\pi}{2}]\).
Для отрезка \([2\pi; \frac{7\pi}{2}]\) интервалы, в которые попадают корни:
Для \(\cos x = 0\): \(x = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\).
Из них только \(x = \frac{5\pi}{2}\) удовлетворяет условию на отрезке.Для \(\cos x = -\frac{1}{2}\): \(x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}\).
Из них только \(x = \frac{8\pi}{3}\) удовлетворяет условию на отрезке.
Таким образом, корень уравнения \(2\cos^2 x + \sin(x-\frac{\pi}{2}) = 0\), принадлежащий отрезку \([2\pi; \frac{7\pi}{2}]\) равен \(x = \frac{8\pi}{3}\).
