Для решения этой задачи воспользуемся свойством биссектрисы угла в трапеции.
Пусть $ABCD$ - прямоугольная трапеция, где $AB$ и $CD$ - основания, $AD$ и $BC$ - боковые стороны, $AC$ - диагональ, а $\angle CAD = \angle DAB = 45^\circ$.
Также, пусть $AB = 8\sqrt{2}$ (меньшее основание).
Так как $AC$ - биссектриса угла $\angle CAD$ (по условию), то $AC$ делит угол $\angle CAD$ на два равных угла, т.е. $\angle CAD = \angle DCA = \angle ACB = 45^\circ$.
Поскольку $ABCD$ - прямоугольная трапеция, то углы при основаниях $AB$ и $CD$ смежные, т.е. $\angle DAB = \angle ADC = 90^\circ$. Из этого следует, что треугольник $ACD$ - прямоугольный.
Рассмотрим треугольник $ACD$. В нем известны гипотенуза $AC$, равная $d$, равная складывающих сторон, и катет $AD$, равный $AB$.
Применим теперь теорему Пифагора для нашего прямоугольного треугольника $ACD$:
[AC^2 = AD^2 + CD^2]
Подставляя известные значения, получаем:
[d^2 = (8\sqrt{2})^2 + CD^2]
[d^2 = 64 \cdot 2 + CD^2]
[d^2 = 128 + CD^2] (1)
Теперь рассмотрим треугольник $ACB$. В нем известны катет $AB = 8\sqrt{2}$, катет $BC$, равный половине разности оснований, т.е. $BC = \frac{1}{2}(AD - BC)$. Также известен угол при основании равный $45^\circ$.
Применим тангенс угла в прямоугольном треугольнике:
[ \tan \angle ACB = \frac{BC}{AB} ]
[ \tan 45^\circ = \frac{\frac{1}{2}(AD - 8\sqrt{2})}{8\sqrt{2}} ]
[ 1 = \frac{\frac{1}{2}(d - 8\sqrt{2})}{8\sqrt{2}} ]
[ 1 = \frac{d - 8\sqrt{2}}{16\sqrt{2}} ]
[ 16\sqrt{2} = d - 8\sqrt{2} ]
[ d = 24\sqrt{2} ]
Теперь подставим найденное значение длины $d$ в уравнение (1):
[ (24\sqrt{2})^2 = 128 + CD^2 ]
[ 576 \cdot 2 = 128 + CD^2 ]
[ 1152 = 128 + CD^2 ]
[ CD^2 = 1024 ]
[ CD = 32 ]
Итак, длина диагонали $CD$ равна 32.
