Решить

Для решения задачи найдём значение выражения \(\frac{2(4a^2)^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}\) при \(a = \sqrt{20}\).

Шаг 1: Упростим выражение \((4a^2)^{\frac{1}{2}}\).

\[ (4a^2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4a^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^2} = 2a \]

Шаг 2: Подставим упрощённое выражение в исходную формулу.

\[ \frac{2 \cdot 2a}{a^{\frac{1}{2}}} = \frac{4a}{a^{\frac{1}{2}}} \]

Шаг 3: Упростим получившуюся дробь.

\[ \frac{4a}{a^{\frac{1}{2}}} = 4a^{1 - \frac{1}{2}} = 4a^{\frac{1}{2}} \]

Шаг 4: Подставим \(a = \sqrt{20}\).

\[ 4(\sqrt{20})^{\frac{1}{2}} = 4 \cdot (20)^{\frac{1}{4}} \]

Шаг 5: Найдём значение \((20)^{\frac{1}{4}}\).

\((20)^{\frac{1}{4}} = \sqrt{\sqrt{20}}\)

Для \(\sqrt{20}\) найдём значение:

\(\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}\)

Теперь подставим обратно:

\[ \sqrt{\sqrt{20}} = \sqrt{2\sqrt{5}} \]

Это упрощать не будем, можно так оставить, но для вычислений обычно используют приближенные значения.

Шаг 6: Подставим обратно в выражение:

\[ 4 \cdot \sqrt{\sqrt{20}} = 4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{4}} \]

Это можно представить как:

\[ 4 \times 2^{0.5} \times 5^{0.25} \]

При необходимости дальнейших числовых вычислений, используйте приближенные значения корней.